掃き出し法を用いた連立1次方程式の解法と例題

[公開日]2017/09/12[更新日]2017/09/15 [カテゴリー]連立方程式 Written by  y0he1

当ページでは、掃き出し方を使って連立1次方程式の解を求める方法や実際に連立1次方程式の解を求める手順を各ステップごとに丁寧に解説しています。

クラメルの公式で解く方法に関してはこちらで紹介しております。

 
 

掃き出し法を用いた連立1次方程式の解法

掃き出し法を用いた連立1次方程式の解法

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} +\cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} +\cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\\ \ \ \vdots \nonumber \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} +\cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

ここで

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots& a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right) , \boldsymbol{x} = \left[ \begin{array}{cccc} x_{1} \\x_{2}\\\vdots\\x_{n} \end{array}\right] , \boldsymbol{B} = \left[ \begin{array}{cccc} b_{1} \\b_{2}\\\vdots\\b_{m} \end{array}\right] \)

のように置くと連立方程式を\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\)と書き表すことができ、[\(\boldsymbol{Ab}\)]を行基本変形し[\(\boldsymbol{Ic}\)]となるように行基本変形する。 ここで生成された\(\boldsymbol{c}\)が解\(\boldsymbol{x}\)となる。

m個の一次方程式

例題

実際に問題を解いてみましょう。やることは行基本変形だけですが、落ち着いて変形をしないと間違えやすい問題です。

例題

次の連立1次方程式を掃き出し法を用いて求めよ 

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 4y + z = 6 \\ x - 2y - 2z = 1 \\ -2x - 5y + 3z = 5 \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

回答

この問題をクラメルの公式で解く方法に関してはこちらで紹介しております。

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cccc}2&4&1\\1&-2&-2\\-2&-5&3\end{array}\right)\)

\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{cccc}x\\y\\z\end{array}\right)\)

\( \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{cccc}6\\1\\5\end{array}\right)\)

\([Ab]=\left( \begin{array}{cccc}2&4&1&6\\1&-2&-2&1\\-2&-5&3&5\end{array}\right)\)

1行目を3行目に足します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}2&4&1&6\\1&-2&-2&1\\0&-1&4&11\end{array}\right)\)

1行目を2行目にを交換します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\2&4&1&6\\0&-1&4&11\end{array}\right)\)

1行目を-2倍し、2行目に足します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\0&8&5&4\\0&-1&4&11\end{array}\right)\)

3行目を8倍し、2行目に足します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\0&0&37&92\\0&-1&4&11\end{array}\right)\)

2行目と3行目を入れ替えます。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\0&-1&4&11\\0&0&37&92\end{array}\right)\)

2行目を-1倍し、3行目を\(\frac{1}{37}\)倍します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\0&1&-4&-11\\0&0&1&\frac{92}{37}\end{array}\right)\)

このように対角成分を1、下三角成分を0にすることを前進消去と呼びます。

次に、上三角成分を0にする、後退代入を行います。

3行目を4倍して2行目に足します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&-2&-2&1\\0&1&0&-\frac{39}{37}\\0&0&1&\frac{92}{37}\end{array}\right)\)

2行目、3行目をそれぞれ2倍し、1行目に足します。

\(→\left( \begin{array}{cccc}1&0&0&\frac{143}{37}\\0&1&0&-\frac{39}{37}\\0&0&1&\frac{92}{37}\end{array}\right)\)

よって、解\(\boldsymbol{x}\)は、

\(\boldsymbol{x}=\left( \begin{array}{cccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{143}{37}\\-\frac{39}{37}\\\frac{92}{37}\end{array}\right)\)

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