クラメルの公式を用いた連立1次方程式の解法と例題

[公開日]2017/09/12 [カテゴリー]連立方程式 Written by  OKI

当ページでは連立1次方程式を、クラメルの公式を用いて、解く方法をご紹介いたします。

掃き出し法を使って連立一次方程式を解く方法に関してはこちらで紹介しております。

 
 

クラメルの公式

公式
 

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = c_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = c_2  \\ \quad \vdots \hspace{ 40pt } \ddots  \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = c_n   \end{array} \right. \end{eqnarray}\)の係数行列の行列式が、\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\   \vdots & \hspace{ 20pt } \ddots  \\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots & a_{nn}  \end{vmatrix}\) \(\neq\) 0を満たすとき、この方程式の解は、\(x_j\) = \(\frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & c_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & c_{2j} & \cdots & a_{2n} \\    &  \vdots & &\vdots & \\ a_{n1} & \cdots & c_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\    &  \vdots & &\vdots & \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}}\) である。

クラメルの公式を用いた連立1次方程式の例題

例題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて求めよ。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 4y + z = 6 \\ x - 2y - 2z = 1 \\ -2x - 5y + 3z = 5 \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

回答

この問題を掃き出し法を使って解く方法はこちらで解説しております。

係数行列の行列式は、

\(\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\  1 & -2 & -2\\ -2 & -5 & 3 \end{vmatrix}\) = -37 \(\neq\) 0より、

x = \(\frac{  \begin{vmatrix} 6 & 4 & 1\\  1 & -2 & -2\\ 5 & -5 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\  1 & -2 & -2\\ -2 & -5 & 3 \end{vmatrix} }= \frac{143}{37}\),y = \(\frac{ \begin{vmatrix} 2 & 6 & 1\\  1 & 1 & -2\\ -2 & 5 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\  1 & -2 & -2\\ -2 & -5 & 3 \end{vmatrix} } = -\frac{39}{37}\),z = \(\frac{ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6\\  1 & -2 & 1\\ -2 & -5 & 5 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\  1 & -2 & -2\\ -2 & -5 & 3 \end{vmatrix} }=\frac{92}{37}\)

となる。

 

 

  • スポンサーリンク

  • コメントを残す

    メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

    CAPTCHA