時系列分析の単位根過程、ランダムウォークとは?

 2019/02/12    時系列分析    

この記事では時系列分析を学ぶ上で重要な概念である単位根過程とランダムウォークについて説明します。

身近な時系列データの多くが単位根過程に従います。

例えば経済データの多くは単位根過程の一つであるランダムウォークに従うと言われています。また有名なARIMA、SARIMAモデルも単位根過程の一種です。

今回は、まず単位根過程がどのようなものであるか考えます。そのあと代表的な単位根過程に関連した和分過程とランダムウォークについて紹介していきます。

単位根過程

単位根過程の定義

まずは以下の単位根過程の定義を見ていきましょう。

 

\( y_t \)が非定常過程、また差分系列\(  y_t - y_{t - 1} = {\Delta}y_t \)が定常過程である時、\( y_t \)は単位根過程である。

 

単位根過程であるために2つの条件が必要であると分かります。

1つは\( y_t \)が非定常過程に従うこと、もう1つは差分系列が定常過程に従うということです。

単位根過程の利用

記事の冒頭で単位根過程は時系列分析を学ぶ上で重要な概念であると紹介しました。

では時系列分析を行う上で、どのようなときに単位根過程について考えるのでしょう。

1つは単位根過程を用いたモデルについて考えるときです。

経済、金融データが従うランダムウォークは単位根過程の一種です。また、ARIMA、SARIMAモデルも単位根過程のひとつです。

また時系列データの回帰分析を行う時、単位根過程について考える必要があります。

単位根過程に従う\( x_t, y_t \) を回帰分析を行うと、まったく関係のない\( x_t, y_t \)の間に有意な相関を見出してしまう「見せかけの回帰」が行われます。「見せかけの回帰」は、例えば株価と二酸化炭素濃度という関係のない2つの間に相関性を導き出してしまいます。

そのため時系列データに対して回帰分析を行う時は「見せかけの回帰」に気を付ける必要があります。

「見せかけの回帰」を避けるためには、あらかじめ2つの時系列データ\( x_t, y_t \)が単位根過程に従っているかどうか確認しなくてはなりません。そんな時は単位根過程であるかをチェックする単位根検定が行われます。

和分過程

和分過程の定義

まずは和分過程がどのように定義されているのか確認してみましょう。

 

d-1階差分系列\(  y_t - y_{t - d + 1} \)が非定常であり、d階差分系列\(  y_t - y_{t - d} \)が定常過程である時、\( y_t \)はd次和分過程に従う。

 

和分過程とは

和分過程の定義を見てみると和分過程が単位根過程とよく似ていることが分かります。

ただ、和分過程は一階の差分だけでなくd階差分について考えることができます。和分過程の方がより表現できるモデルの幅が広いと分かりますね。

例えば、単位根過程を和分過程で表すことを考えてみましょう。単位根過程は1階差分の定常性について考えているから、一次和分過程とみなすこともできます。

このことからも和分過程の方がより一般的に確率過程を表現できることが分かります。

ランダムウォーク

ランダムウォークの定義

代表的な単位根過程であるランダムウォークについて考えていきます。

ランダムウォークはどのような式で表されるのでしょうか。以下の式を見てみましょう。

 

\( y_t = \delta + y_{t-1} + \varepsilon_t \ \ldots \ (1)\)

\( \varepsilon_t \)について\( E[\varepsilon_t] = 0, \ V[\varepsilon_t] = \sigma^2 \)であるとする。

 

ランダムウォークは一次ARモデル式で表されていますね。

この式の\( \delta \)はランダムウォークのドラフト項と呼び、トレンドを表現します。

例えば、株価の上昇トレンドを表すのにこのトレンド項\( \delta \)が役立ちます。

ランダムウォークを表す式は様々ありますが、上記の式はランダムウォークが時系列モデルであることを思い出させてくれます。

ランダムウォークと単位根過程

ランダムウォークが単位根過程であるかどうか確認してみましょう。

単位根過程には2つの条件がありました。一つは\( y_t \)は非定常過程であること、もう一つは差分系列\(  y_t - y_{t - 1} = {\Delta}y_t \)が定常過程であることでした。

ランダムウォークが単位根過程であるか確認するため、原系列\( y_t \)、差分系列 \( {\Delta}y_t \)それぞれの定常性について考えてみましょう。

 

まずは原系列\( y_t \)が非定常過程であるかをみてみましょう。

ランダムウォークを表した式\( (1) \)を見ると一次ARモデルに従うということが分かります。

ところで一次ARモデルの\( y_t \)は\( | \phi_1 | \geq 1 \)の時、非定常過程に従います。今回は\(  \phi_1 = 1 \)であるため、ランダムウォークの\( y_t \)が非定常過程に従うと分かります。

 

次に差分系列 \( {\Delta}y_t \)が定常過程であるかどうかチェックしていきます。

ランダムウォークを表した式\( (1) \)を以下のように変形します。

 

\( y_t - y_{t-1} = \delta + \varepsilon_t \)

 

上記の式を見ると確かに左辺の差分系列\(  y_t - y_{t - 1} \)は右辺の定常過程\( \delta + \varepsilon_t \)によって表されていますね。

これでランダムウォークが単位根過程であることが確認できました。

ランダムウォークの振る舞い

これまでランダムウォークが数式でどのように表され、またその性質について説明してきました。

これからはランダムウォークと株価がどのように振る舞うのか、グラフを見比べてます。

それぞれ、ドリフト項のないランダムウォーク、またソフトバンクの株価を用いたグラフを描きました。

 

上記2つのグラフを見比べてみると、株価がほとんどランダムウォークしていると分かります。

 

まとめ

今回は単位根過程に加えて和分過程、ランダムウォークについて説明してきました。

特に単位根過程は重要な概念です。時系列データに対して回帰分析をするときは、単位根過程によって引き起こされる「見せかけの回帰」について忘れないようにしましょう。

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