ARMAモデル(自己回帰移動平均モデル)について分かりやすく解説!

 2019/02/12    時系列分析    

今回はARMAモデルについて解説していきます。ARMAモデルはARIMA、SARIMAモデルの基礎にもなっています。

ARモデル、MAモデルを理解したうえでARMAモデルを勉強するとすんなりいくでしょう。

ARMAモデルの概要

ARMAモデルとは

ARMAモデルは現在の値\( y_{t} \)を過去の値とホワイトノイズの和によって表現するモデルです。

ARモデルMAモデルから構成されるモデルと考えることもできます。

以下のARMAモデル式を見てみましょう。

 

\( y_{t} =c + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \)

 

上記のARMAモデルは\( ( p, q ) \)次ARMAモデルと呼ばれます。または、ARMA\( ( p, q ) \)モデルと表記されます。

\( ( p, q ) \)という二つの変数はどこから出てきたのでしょう。これは\( p \)次ARモデルと\( q \)次MAモデルであることを意味しています。

上記のARMAモデルは\( \Sigma \)を用いてシンプルに表現することもできます。

 

\( y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ q } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \ \ldots \ (1) \)

 

上記の\( \Sigma \)を用いたARMAモデル式を見ると\( p \)次ARモデルと\( q \)次MAモデルから構成されていることがよく分かります。

ARMAモデルの定常性

ARMAモデルが\( p \)次ARモデルと\( q \)次MAモデルを組み合わせたモデルであることは説明しました。

次はARMAモデルの定常性について考えてみましょう。

どのようなときにARMAモデルは定常過程となるのでしょうか。

 

構成するARモデルとMAモデルが定常である時、ARMAモデルは定常過程となります。

MAモデルは常に定常であるから、ARモデルが定常であるとき\( ( p, q ) \)次ARMAモデルが定常過程となります。

ARMAモデルの統計量

ARMAモデルの期待値、自己共分散、自己相関はどのような値になるのでしょうか。

以下では定常ARMA\( ( p, q ) \)モデルの\( (1) \)式について統計量の値を示します。

導出の方法については詳しく触れませんが、MAモデルの期待値や自己共分散と同じ方法で求めることができます。

また\( 0 < j \leq q \)の時、\( j \)次自己共分散、\( j \)次自己相関は一般には求まりません。

 

期待値   :  \( \mu = E[y_{t}] = \displaystyle \frac{ c }{ 1 - \phi_{1} - \phi_{2}  - \cdots - \phi_{p} } \)

自己共分散 :  \( \gamma_j = Cov[y_t, y_{t - j}] = \theta_1\gamma_{j - 1} + \theta_2\gamma_{j - 2} + \cdots + \theta_p\gamma_{j - p}, \quad q < j \)

自己相関  :  \( p_j = \theta_1p_{j - 1} + \theta_2p_{j - 2} + \cdots + \theta_pp_{j - p}, \quad q < j \)

まとめ

この記事ではARMAモデルの概要、定常性や統計量について解説しました。

構成するAR過程が定常であるとき、ARMAモデルも定常過程になることは覚えておきましょう。

  • イベント情報

    0529-イベント
  • 関連コンテンツ

  • コメントを残す

    メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です