一致推定量とは?平均と分散を例に分かりやすく解説

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一致推定量とは

統計的推定の点推定の一種として、一致推定量があります。

一致推定量とは、一致性を満たす推定量で、標本数をまで増やしたときに、推定量θ^\hat{θ}が母数θθに近づくという性質を持っています。

平均の一致推定量

平均の一致推定量は、標本平均であるxˉ\bar{x}です。これは、大数の法則から、標本数が増えれば、標本の平均は母平均に近づくという性質によるものです。

分散の一致推定量

分散の一致推定量は、

s2=1ni=1n(xix)2s^2 = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-\overline{x})^2

となるs2s^2です。

これは、標本数をまで増やすと、s2s^2が母分散σ2σ^2に近づくことから分かります。

s2=1ni=1n(xiμ)2(xˉμ)2s^2 = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-μ)^2 -(\bar{x}-μ)^2

と変形できるので、大数の法則から、標本数がに近づくとき、この式の、-より後ろの部分は00に近づきます。また、-より前の部分も大数の法則を適用でき、1ni=1n(xiμ)2=σ2\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-μ)^2 = σ^2となります。よって、s2s^2σ2σ^2の一致推定量であると言えます。

カテゴリ: 統計的推定