t分布とは?

[公開日]2016/11/28[更新日]2017/04/06 [カテゴリー]t分布 Written by  IMIN

確率密度関数\(f(x)=\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}\)
期待値\(E(X)=0\)
分散\(V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
\infty & (1<\gamma \leq2) \\ \frac{\gamma}{\gamma-2} & (\gamma>2)
\end{array} \right.\)

確率変数\(Z\)が標準正規分布\(N(0,1)\)、確率変数\(W\)が自由度nの\(χ^2\)(カイ二乗)分布に従うとき、

$$t = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}} $$

となる\(t\)は自由度\(n\)のt分布に従います。t分布は自由度が大きくなるにつれ、標準正規分布の形に近づいていきます。

 
 

t分布の確率密度関数のグラフ

自由度1,3,15,100のt分布の密度関数のグラフです。自由度が大きくなるにつれ、標準正規分布のグラフに近づくことが分かります。

t%e5%88%86%e5%b8%83%e3%81%a8%e3%81%af

t分布とカイ二乗分布・正規分布の関係

t分布はカイ二乗分布や正規分布と深い関係性があります。

正規分布\(N(μ,σ^2)\)に従う大きさnの無作為標本\(X_1,X_2,...,X_n\)を考えたときに、

$$ W = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{(X_i-\bar{X})^2}{σ^2}$$

は自由度n-1のカイ二乗分布に従います。(\(S^2\)は不偏分散\(\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-\overline{x})^2\))

これを、当ページ冒頭の式にある、\(t = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}} \)の分母に代入すると、自由度n-1のt分布の式が完成し、

$$\begin{eqnarray*}t &=&\frac{Z}{\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{(X_i-\bar{X})^2}{σ^2}}{n-1}}} \\ \\&=&\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (X_i-\bar{X})^2}{n-1}}}\\ \\&=&\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{S}\end{eqnarray*} $$

となります。(\(S^2\)は不偏分散\(\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-\overline{x})^2\))

これは、正規分布に従うと仮定した標本について、分散を不偏分散によって標準化すると、自由度n-1のt分布に従うということを表しています。

よって、正規分布に従うと仮定した仮説検定は、母分散が未知の場合、t分布に標準化して行うのでt検定と言われます。t検定について詳しくこちら→t検定とは?種類と手順を解説!

t分布表

t分布の〇〇以上の値をとる確率というものを、一覧にしたものがt分布表と呼ばれるものです。この表はt検定などで頻繁に使うので、見方を是非覚えておきましょう。t分布表とその見方を別ページにまとめましたので、ご参考にどうぞ。

t分布表と見方 自由度1~240(片側)

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