t分布とは

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t分布とは

確率変数ZZが標準正規分布N(0,1)N(0,1)、確率変数WWが自由度nnカイ二乗分布に従うとき、

t=ZWnt = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}}

と表されるttが従う分布を、t分布といいます。

t分布の公式

確率密度関数

f(x)=Γ(ν+12)νπΓ(ν2)(1+x2ν)(ν+12)f(x)=\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}

期待値

E(X)=0E(X)=0

分散

V(X)={(1<γ2)γγ2(γ>2)V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}\infty & (1\lt\gamma \leq2) \\ \frac{\gamma}{\gamma-2} & (\gamma\gt2)\end{array} \right.

t分布表

t分布の〇〇以上の値をとる確率を一覧にしたものがt分布表といいます。この表はt検定などで頻繁に使うので、見方を覚えておきましょう。

詳細は「片側t分布表と見方」をご確認ください。

t分布の性質

t分布は自由度が大きくなるにつれ、標準正規分布の形に近づいていきます。

以下は、自由度1、自由度3、自由度15、自由度100のt分布の確率密度関数を比較したものです。

自由度が大きくなるにつれて、標準正規分布のグラフに近づいていくことが分かります。

t分布のグラフ

カイ二乗分布・正規分布との関係

t分布はカイ二乗分布正規分布と深い関係性があります。

正規分布N(μ,σ2)N(μ,σ^2)に従う大きさnnの無作為標本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nを考えたときに、

W=i=1n(XiXˉ)2σ2W = \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{(X_i-\bar{X})^2}{σ^2}

は自由度n-1のカイ二乗分布に従います。

これを、t=ZWnt = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}} の分母に代入すると、自由度n-1のt分布の式が完成し以下となります。

t=Zi=1n(XiXˉ)2σ2n1=n(Xˉμ)i=1n(XiXˉ)2n1=n(Xˉμ)S\begin{equation*}\begin{split}t &=\frac{Z}{\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{(X_i-\bar{X})^2}{σ^2}}{n-1}}} \\ \\&=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (X_i-\bar{X})^2}{n-1}}}\\ \\&=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{S}\end{split}\end{equation*}

S2S^2は不偏分散1n1i=1n(xix)2\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i-\overline{x})^2

これは、正規分布に従うと仮定した標本について、分散を不偏分散によって標準化すると、自由度n-1のt分布に従うということを表しています。

正規分布に従うと仮定した仮説検定は、母分散が未知の場合、t分布に標準化して行うので、t検定と言います。

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カテゴリ: t分布