ポアソン分布の期待値・分散の導出(証明)

[公開日]2016/10/20[更新日]2016/12/22 [カテゴリー]ポアソン分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}\)
期待値\(E(X)=λ\)
分散\(V(X)=λ\)
積率母関数\(M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}\)

当ページは確率密度関数からのポアソン分布の平均・分散の導出過程を記しています。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 
 

期待値の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=&λ\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=&λ\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\\\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\end{eqnarray*}\)

のk-1をk'とおくと、\(\begin{eqnarray*}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}\end{eqnarray*}\)となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率密度関数である。よって、

\(\begin{eqnarray*}\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1\end{eqnarray*}\)

確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

分散の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\sum_{k=0}^{n}k^{2}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\end{eqnarray*}\)

info
\(\begin{eqnarray*}\\\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\end{eqnarray*}\)

これは、先ほど導出したポアソン分布の期待値であるため、λとなる。

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=&λ^{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=&λ^{2}+λ\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\\\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}\end{eqnarray*}\)

のk-2をk'とおくと、\(\begin{eqnarray*}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}\end{eqnarray*}\)となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率密度関数である。よって、

\(\begin{eqnarray*}\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1\end{eqnarray*}\)

確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&λ^{2}+λ-(λ)^2\\ &=&λ\end{eqnarray*}\)

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