積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出

[記事公開日]2016/12/26 [カテゴリー]ポアソン分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}\)
期待値\(E(X)=λ\)
分散\(V(X)=λ\)
積率母関数\(M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}\)

当ページは積率母関数からのポアソン分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、ポアソン分布の期待値と分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの?」という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 
 

積率母関数の導出

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\mathrm{e}^{-λ}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{(\lambda \mathrm{e}^{t})}^{k}}{k!}\end{eqnarray*}\)

info
指数関数のマクローリン展開は、

\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\end{eqnarray*}\)

である。上式を\(x=\lambda \mathrm{e}^{t}\)と置換すると、

\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{\lambda \mathrm{e}^{t}}^k}{k!}\end{eqnarray*}\)

となる。これを用いて式変形を行う。

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\mathrm{e}^{-λ}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}\\ &=&\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた期待値の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&{(\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}'\\ &=&\left.{(\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}'\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた分散の証明

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left. {(\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}'\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}'\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(1+\lambda \mathrm{e}^{t})}\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&{\lambda}^2+\lambda\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&{\lambda}^2+\lambda-{\lambda}^2\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)

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