確率密度関数を用いた正規分布の期待値(平均)と分散の導出

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公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

確率密度関数

f(x)=12πσ2exp[(xμ)22σ2]f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}

期待値

E(X)=μE(X)=μ

分散

V(X)=σ2V(X)=σ^2

標準偏差

SD(X)=σSD(X)=σ

期待値(平均)の導出

E(X)=xf(x)dx=(xμ+μ)f(x)dx=(xμ)12πσ2exp[(xμ)22σ2]dx+μf(x)dx=(xμσ)12πexp[12(xμσ)2]dx+μf(x)dx=(xμσ)12πexp[12(xμσ)2]σdxσ+μ\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}dx+\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } \mu f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} dx+\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} \sigma\frac{dx}{\sigma}+\mu\end{split}\end{equation*}

ここでy=xμσy=\frac{x-\mu}{\sigma}とおくと

dydx=1σ  dy=1σdx\frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } x }=\frac{1}{\sigma} ⇆ \mathrm{d}y=\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x

E(X)=y12πexp[12y2]σdy+μ=σ2π(12y2)e12y2dy+μ=[σ2πe12y2]+μ=μ\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } y\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{y}^2]} \sigma dy+\mu\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } -\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}{(-\frac{1}{2} {y}^{2})}'\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2} dy+\mu\\ &=\left[- \frac{\sigma}{\sqrt{2π}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} {y}^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\ &=\mu \end{split}\end{equation*}

分散の導出

分散をV[X]=E(X2)[E(X)]2V[X] = E(X^2) - [E(X)]^2 で算出するために、[E(X)]2[E(X)]^2を求めていきましょう。(分散についての復習はこちら


E(X2)=x2f(x)dx=x212πσ2e(xμ)22σ2dx={(xμ)2+2μxμ2}12πσ2e(xμ)22σ2dx=(xμ)212πσ2e(xμ)22σ2dx+2μx12πσ2e(xμ)22σ2dxμ212πσ2e(xμ)22σ2dx=(xμ)212πσ2e(xμ)22σ2dx+μ2\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\{{(x-\mu)}^2+2\mu x-{\mu}^2\}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+2\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx-{\mu}^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+{\mu}^2\end{split}\end{equation*}

【Point①】

x12πσ2e(xμ)22σ2dx\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dxは正規分布の期待値であるため、μ である。

【Point②】

12πσ2e(xμ)22σ2dx\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dxは正規分布の確率密度関数を確率変数のとりうる値で積分しているため1となる。


 y=(xμ)σ\ y=\frac{(x-\mu )}{σ}とおく。dydx=1σσdy=dx\frac{dy}{dx}=\frac{1}{σ}⇄σdy=dx

E(X2)=σ2y212πσ2e12y2σdy+μ2=σ22πy2e12y2dy+μ2=σ212πey22dy+μ2=σ2+μ2\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{σ^{2}}{y^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}σdy+{\mu}^{2}\\ &=\frac{σ^2}{\sqrt{2\pi }}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }y^{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}dy+{\mu}^2\\ &=σ^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy+{\mu }^2\\ &=σ^2+\mu^2\end{split}\end{equation*}

【Point③】

y2e12y2dy=y(ey22)dy=[yey22]+ey22dy=ey22dy\begin{equation*}\begin{split}\int_{-\infty}^{\infty} y^{2} e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy &= \int_{-\infty}^{\infty} -y \left(e^{-\frac{y^2}{2}}\right)' \, dy \\&= \left[-y e^{-\frac{y^2}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy \\&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy\end{split}\end{equation*}

V(X)=E(X2)(E(X))2=σ2+μ2μ2=σ2\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &={\sigma}^{2} \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: 正規分布