正規分布の期待値・分散・標準偏差の導出(証明)

[記事公開日]2016/09/07[最終更新日]2017/02/26 [カテゴリー]正規分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(X) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}\)
期待値\(E(X)=μ\)
分散\(V(X)=σ^2\)
標準偏差\(SD(X)=σ\)
積率母関数\({\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\)

当ページは確率密度関数からの正規分布の平均・分散の導出過程を記しています。積率母関数の導出および積率母関数からの導出を読みたい人は、積率母関数を用いた正規分布の平均・分散の導出のページをご覧ください。

また、正規分布について詳しく知りたい方は、正規分布とは?でまとめていますので、そちらも併せてお読みいただければと思います。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 
 

期待値の導出(証明)

期待値ってそもそも何?

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}dx+\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } \mu f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} dx+\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} \sigma\frac{dx}{\sigma}+\mu\end{eqnarray*}\)

ここで\(y=\frac{x-\mu}{\sigma}\)とおくと\(\frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } x }=\frac{1}{\sigma} ⇆ \mathrm{d}y=\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x\)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } y\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{y}^2]} \sigma dy+\mu\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } -\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}{(-\frac{1}{2} {y}^{2})}'\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2} dy+\mu\\ &=&\left[- \frac{\sigma}{\sqrt{2π}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} {y}^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\ &=&\mu \end{eqnarray*}\)

分散の導出(証明)

分散ってそもそも何!?

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\{{(x-\mu)}^2+2\mu x-{\mu}^2\}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+2\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx-{\mu}^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\\end{eqnarray*}\)

info

\(\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}\)dxは正規分布の確率密度関数を確率変数のとりうる値で積分しているため1となる。

(ある事象の全ての確率を足すと1になることと同義)

また、\(\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\)は正規分布の期待値であるため、μ である。

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+{\mu}^2\\\)

\(\ y=\frac{(x-\mu )}{σ}とおく。\frac{dy}{dx}=\frac{1}{σ}⇄σdy=dx\ \ \)

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{σ^{2}}{y^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}σdy+{\mu}^{2}\\ &=&\frac{σ^2}{\sqrt{2\pi }}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }y^{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}dy+{\mu}^2\end{eqnarray*}\)

info
\(\begin{eqnarray*}\\\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }y^{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}dy&\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }-y{(\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}})}'dy\\ &\ &=\left[-y\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ &\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\end{eqnarray*}\)

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&σ^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy+{\mu }^2\\ &=&σ^2+\mu^2\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2} \end{eqnarray*}\)

標準偏差の導出(証明)

標準偏差ってそもそも何!?

標準偏差とは分散を平方根にとることによって得られる値である。

よって先ほど証明した平均、分散の値より導出する。

$$\begin{eqnarray*}SD(x)&=&\sqrt{V(X)}\\ &=&σ\end{eqnarray*}$$

 

 

いかかでしたでしょうか。正規分布について詳しく知りたい方は、正規分布とは?でまとめていますので、そちらも併せてお読みいただければと思います。

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