積率母関数を用いた正規分布の期待値(平均)と分散の導出

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積率母関数

eμt+σ2t22{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}

期待値

E(X)=μE(X)=μ

分散

V(X)=σ2V(X)=σ^2

標準偏差

SD(X)=σSD(X)=σ

正規分布の積率母関数の導出

mX(t)=E(etX)=etxf(x)dx=12πσ2exp[(xμ)22σ2+tx]dx=12πσ2exp[12σ2(x22μx+μ22σ2tx)]dx=12πσ2exp[12σ2((x(μ+σ2t))2+2μσ2t+σ4t2)]dx=12πσ2exp[(x(μ+σ2t))22σ2+μt+σ2t22]dx=eμt+σ2t2212πσ2exp[(x(μ+σ2t))22σ2]dx=eμt+σ2t22\begin{equation*}\begin{split}m_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-\mu)^2}{2σ^2}+tx]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}(x^2-2\mu x+{\mu}^{2}-2{\sigma}^{2}tx)]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}({(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))}^{2}+2\mu{\sigma}^{2}t+{\sigma}^{4}t^{2})]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}+\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}]}dx\\ &={\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}]}dx\\ &={\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\end{split}\end{equation*}

Info

12πσ2exp[(x(μ+σ2t))22σ2]\begin{equation*}\begin{split}\\\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}]}\end{split}\end{equation*}

μσ2t\mu+{\sigma}^{2}tμ\mu'とおくと、

12πσ2exp[(xμ)22σ2]\begin{equation*}\begin{split}\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-\mu ')^2}{2σ^2}]}\end{split}\end{equation*}

となる。

これは平均がμ\mu '、分散がσ2\sigma^2の正規分布の確率密度関数である。よって、

12πσ2exp[(x(μ+σ2t))22σ2]dx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}]}dx=1\end{split}\end{equation*}

となる。これは、確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるためである。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

積率母関数を用いた期待値(平均)の導出

E(X)=dmX(t)dtt=0=(etbeta)t(ba)(etbeta)(t(ba))(t(ba))2t=0=(aetbbeta)t(ba)(etbeta)(ba)(t(ba))2t=0\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}})}'t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(t(b-a))}'}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ \end{split}\end{equation*}

積率母関数を用いた分散の導出

E(X2)=d2mx(t)dt2t=0=(μ+σ2t)eμt+σ2t22+(μ+σ2t)2eμt+σ2t22t=0=σ2+(μ+σ2t)2t=0=σ2+μ2V(X)=E(X2)(E(X))2=σ2+μ2μ2=σ2\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{m_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.{(\mu+{\sigma}^{2}t)}'{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\right|_{t=0}\\ &=\left.{{\sigma}^{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}\right|_{t=0}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &={\sigma}^{2}\end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: 正規分布