ガンマ分布の期待値と分散を密度関数から導出する

[公開日]2016/12/21[更新日]2016/12/31 [カテゴリー]ガンマ分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}\)
期待値\(E(X)=k\theta\)
分散\(V(X)=k{\theta}^{2}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{eqnarray*}\)

当ページは確率密度関数からのガンマ分布の平均・分散の導出過程を記しています。

積率母関数の導出及び、積率母関数からの期待値・分散の導出は、積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出をご覧ください。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

ガンマ関数の性質

\(\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt\)

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

\(\Gamma(k+1) = k! \)

\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

 
 

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

という性質を使うと、

\(\Gamma(k)=\frac{\Gamma(k+1)}{k}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k \theta x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1)\theta^{k+1}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1) \theta^{k+1}}\end{eqnarray*}\)

この式のk+1の部分をk'と置くと、

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{eqnarray*}\)

となる。これはパラメータ(母数)がk'のガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{eqnarray*}\)

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k \theta \end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}{(k+1)}^{-1}\Gamma(k+2)\theta^{-2} \theta^{k+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

という性質を使うと、

\(\begin{eqnarray*}\Gamma(k)&=&\frac{\Gamma(k+1)}{k}\\ &=&\frac{\Gamma(k+2)}{k(k+1)}\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k(k+1) \theta^{2}x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}\end{eqnarray*}\)

この式のk+2の部分をk'と置くと、

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{eqnarray*}\)

となる。これはパラメータ(母数)がk'のガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{eqnarray*}\)

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k(k+1) \theta^{2}\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=&k{\theta}^2\end{eqnarray*}\)

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