積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

[記事公開日]2016/12/23 [カテゴリー]ガンマ分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}\)
期待値\(E(X)=k\theta\)
分散\(V(X)=k{\theta}^{2}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{eqnarray*}\)

当ページは積率母関数からのガンマ分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、ガンマ分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの?」という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

ガンマ関数の性質

\(\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt\)

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

\(\Gamma(k+1) = k! \)

\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

 
 

積率母関数の導出

\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&E(\mathrm{e}^{tX})\\&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}+tx}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k){(1- \theta t)}^{k} {(\frac{\theta}{1- \theta t})}^{k}}dx\\ &=&{(1- \theta t)}^{-k} \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1+\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k) {(\frac{\theta}{1+ \theta t})}^{k}}dx \end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k) {(\frac{\theta}{1- \theta t})}^{k}}\end{eqnarray*}\)

この式の\(\begin{eqnarray*}\frac{\theta}{1- \theta t}\end{eqnarray*}\)を\(\theta '\)とすると、

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta '}}}{\Gamma(k)\theta '^{k}}\end{eqnarray*}\)

となる。これはパラメータ(尺度母数)が\(\theta\)'のガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta '}}}{\Gamma(k)\theta '^{k}}dx=1\end{eqnarray*}\)

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&{(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{eqnarray*}\)

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.k {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k-1} {(\frac{1}{1- \theta t})}'\right|_{t=0}\\ &=&\left.k {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k-1} \frac{\theta}{{(1- \theta t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.k \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k+1}\right|_{t=0}\\ &=&k \theta\end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.{(k \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k+1})}'\right|_{t=0}\\ &=&\left.k(k+1) \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k} {(\frac{1}{1- \theta t})}'\right|_{t=0}\\ &=&\left.k(k+1) \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k} \frac{\theta}{{(1- \theta t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=&k(k+1){\theta}^2\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=&k{\theta}^2\end{eqnarray*}\)

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