指数分布の性質〜無記憶性・ポアソン分布との関係〜

[公開日]2017/09/09 [カテゴリー]指数分布 Written by  space

今回は指数分布の無記憶性、ポアソン分布との関係など、指数分布の性質をいくつかご紹介していきます。

 
 

指数分布の無記憶性

指数分布には無記憶性(memoryless)という次のような性質があります。

指数分布の無記憶性

$$P(T>m+n|T>m)=\frac{P(T>m+n)}{P(t>m)}=\frac{e^{-\lambda(m+n)}}{e^{-\lambda m}}=e^{-\lambda n}=P(T>n)$$

これは、将来のイベント発生までの時間がその過去の経過によらないということです。また、指数分布はこのような無記憶性を持つ唯一の連続型確率分布です。

指数分布とポアソン分布の関係

ポアソン分布と指数分布には密接な関係があります。指数分布はあるイベントが起こるまでの時間に対する分布ですが、ポアソン分布は単位時間内に事象が起こる確率を表しています。ポアソン分布は

$$p(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{x!}   (x=0,1,2,\dotsb)$$

ポアソン分布の具体例は、

・1日にメールを受信する数

・深夜1時間に緊急治療室に運ばれてくる患者の数

などがあります。ここでふたつの関係ですが、単位時間あたりにイベントが起こる回数は平均\(\lambda\)のポアソン分布に従いますが、それらのイベントの発生間隔は平均\(\frac{1}{\lambda}\)の指数分布に従います。これは\(\lambda\)が大きくなると、すなわちイベントが起こる平均回数が大きくなるとイベントの間隔は狭くなるということです。これはふたつの分布の平均を見てもらえばわかると思います。つまり、同じ事象を回数で見るか、時間で見るかの違いということになります。

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