指数分布の期待値・分散の導出(証明)

[公開日]2016/11/09[更新日]2016/12/12 [カテゴリー]指数分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(X;λ) = λe^{-λx}\)
期待値\(\begin{eqnarray*}E(X)=\frac{1}{λ}\end{eqnarray*}\)
分散\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{1}{λ^2}\end{eqnarray*}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

当ページは指数分布の確率密度関数からの指数分布の期待値・分散の導出過程を記しています。

 
 

期待値の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})'dx\\ &=&\lambda(\left[x(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\end{eqnarray*}\)

info

ここでは部分積分を使う。部分積分の公式は

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int f(x)g'(x)&=&f(x)g(x)-\displaystyle \int f'(x)g(x)\end{eqnarray*}\)

である。今回は、

\(\begin{eqnarray*}f(x)&=&x\\ g(x)&=&-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x}\end{eqnarray*}\)

この値を使って、考えるとわかりやすい。

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\lambda(0-\left[\frac{1}{{\lambda}^2}\mathrm{e}^{- \lambda x}\right]_{0}^{\infty})\\ &=&\frac{1}{\lambda}\end{eqnarray*}\)

 

分散の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } x^2 f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})'dx\\ &=&\lambda(\left[x^2(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=&\lambda(0+\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=&\lambda(2 \frac{1}{{\lambda}^2}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx\end{eqnarray*} = \frac{1}{\lambda} \)となることは、前項の期待値の導出から分かる。そのため、この形が出てくるように、意識しながら式変形をすると良い。

\(\begin{eqnarray*}  &=&\frac{2}{\lambda} \frac{1}{\lambda}\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-({E(X)})^2\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=&\frac{1}{{\lambda}^2}\end{eqnarray*}\)

  • スポンサーリンク

  • コメントを残す

    メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

    CAPTCHA