積率母関数を用いた指数分布の期待値・分散の導出

[公開日]2016/12/26 [カテゴリー]指数分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(X;λ) = λe^{-λx}\)
期待値\(\begin{eqnarray*}E(X)=\frac{1}{λ}\end{eqnarray*}\)
分散\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{1}{λ^2}\end{eqnarray*}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

当ページは積率母関数からの指数分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、指数分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの?」という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 

 
 

積率母関数の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \mathrm{e}^{tx}f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{-(\lambda - t) x}dx\\ &=&\lambda \left[\frac{\mathrm{e}^{(t-\lambda)x}}{t-\lambda}\right]_{0}^{\infty}\\ &=&\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1)\\ &=&\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

info

tは積率母関数の定義より0に限りなく近い値である。

λは指数分布の定義より、正のパラメータである。

よって、t-λは負の値になる。よって、

\(\begin{eqnarray*}\lim_{x \to \infty} \mathrm{e}^{(t-\lambda)x}=0\end{eqnarray*}\)

である。

期待値の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\frac{1}{\lambda}\end{eqnarray*}\)

分散の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.({\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}})'\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{-\lambda 2 (\lambda-t)(-1)}{{(\lambda-t)}^4}\right|_{t=0}\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=&\frac{1}{{\lambda}^2}\end{eqnarray*}\)

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