積率母関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出

[記事公開日]2017/01/01[最終更新日]2017/02/16 [カテゴリー]離散一様分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(x) = \frac{1}{N}\)
期待値\(E(X)=\frac{N+1}{2}\)
分散\(V(X)=\frac{N^2-1}{12}\)
積率母関数\(M_X(t)=\frac{\mathrm{e}^t}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^t}\)

当ページは積率母関数(モーメント母関数)から離散一様分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、離散一様分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの?」という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 
 

離散一様分布の積率母関数(モーメント母関数)の導出

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\frac{1}{N}\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\\ &=&\frac{1}{N}\frac{\mathrm{e}^{t}(1-\mathrm{e}^{tN})}{1-\mathrm{e}^{t}}\\ &=&\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}} \end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた期待値の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.(\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}})'\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}}+\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ \end{eqnarray*}\)

info

上式にt=0を代入すると、分母が0になる。そのため、上式が定義できない。そこでロピタルの定理を用いる。ロピタルの定理とは

\(\begin{eqnarray*}\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}\end{eqnarray*}\)

である。これを前述の式に適応させる。

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\lim_{t \to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\\ &=&\lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{e}^{t}((1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)))''}{(N(1-\mathrm{e}^{t})^2)''}\\ &=&\frac{N^2+N}{2N}\\ &=&\frac{N+1}{2}\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた分散の導出(証明)

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{m_X}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\end{eqnarray*}\)

info

これを前述のロピタルの定理を用いて導くことができるが、煩雑であるため省略する。離散一様分布の分散は、通常確率密度関数から求める手法が採用される。その値は、

\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{N^{2}-1}{12}\end{eqnarray*}\)となる。

離散一様分布の分散の確率密度関数からの導出方法は離散一様分布の平均・分散の導出に記述した。

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