確率密度関数を用いた連続一様分布の期待値(平均)と分散の導出

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確率密度関数

f(x)={1ba(axb)0(otherwise) f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b - a} & (a \leq x \leq b) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{array} \right.

期待値

E(X)=12(a+b)E(X)=\frac{1}{2}(a+b)

分散

V(X)=112(ba)2V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2

期待値の導出

E(X)=xf(x)dx=axf(x)dx+abxf(x)dx+bxf(x)dx=0+abx1badx+0=1ba[x22]ab=a+b2\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} xf(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } xf(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } xf(x)dx\\ &=0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{a+b}{2} \end{split}\end{equation*}

分散の導出

E(X2)=x2f(x)dx=ax2f(x)dx+abx2f(x)dx+bx2f(x)dx=0+abx21badx+0=1ba[x33]ab=1bab3a33=a2+ab+b23V(X)=E(X2)(E(X))2=a2+ab+b23(a+b2)2=(ba)212\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } x^2f(x)dx\\ &=0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{1}{b-a}\frac{{b^3}-{a^3}}{3}\\ &=\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}-{(\frac{a+b}{2})}^2\\ &=\frac{{(b-a)}^2}{12} \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: 連続一様分布