連続一様分布の平均・分散の導出(証明)

[公開日]2016/12/12[更新日]2016/12/14 [カテゴリー]連続一様分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{b-a} & (a\leq {x} \leq {b}) \\
0 & (otherwise)
\end{array} \right.\)
期待値\(E(X)=\frac{1}{2}(a+b)\)
分散\(V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\)
積率母関数\(\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\)

当ページは確率密度関数からの連続一様分布の平均・分散の導出過程を記しています。積率母関数の導出および積率母関数からの導出を読みたい人は、積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出のページをご覧ください。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 

 
 

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} xf(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } xf(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } xf(x)dx\\ &=&0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}\\ &=&\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } x^2f(x)dx\\ &=&0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b}\\ &=&\frac{1}{b-a}\frac{{b^3}-{a^3}}{3}\\ &=&\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}-{(\frac{a+b}{2})}^2\\ &=&\frac{{(b-a)}^2}{12} \end{eqnarray*}\)

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