積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出

[記事公開日]2016/12/14[最終更新日]2016/12/23 [カテゴリー]連続一様分布 Written by  y0he1

確率密度関数\(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{b-a} & (a\leq {x} \leq {b}) \\
0 & (otherwise)
\end{array} \right.\)
期待値\(E(X)=\frac{1}{2}(a+b)\)
分散\(V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\)
積率母関数\(\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\)

当ページは積率母関数(モーメント母関数)から連続一様分布の平均・分散の導出(証明)過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、連続一様分布の平均・分散の導出のページをご覧ください。

そもそも積率母関数ってなんなの?という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説をご覧下さい。

 
 

連続一様分布の積率母関数の導出

\(\begin{eqnarray*}m_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} \mathrm{e}^{tx}f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } \mathrm{e}^{tx}f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } \mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=&0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } \mathrm{e}^{tx}\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{\mathrm{e}^tx}{t} \right]_{a}^{b}\\ &=&\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{{({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}})}'t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(t(b-a))}'}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ \end{eqnarray*}\)

info

上式にt=0を代入すると、分母が0になる。そのため、上式が定義できない。そこでロピタルの定理を用いる。ロピタルの定理とは

\(\begin{eqnarray*}\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}\end{eqnarray*}\)

である。これを前述の式に適応させると、

\(\begin{eqnarray*}\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}&=&\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\lim_{t \to 0}\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\\ &=&\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{g(t)}(=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)'}{g(t)'}=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)''}{g(t)''}) \end{eqnarray*}\)

これより、\(\begin{eqnarray*}\lim_{t \to 0}\frac{f(t)''}{g(t)''}\end{eqnarray*}\)を求めることにより、平均を導出できる。以下でその過程について記述する。

\(f(t)={({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}\\ \begin{eqnarray*}f'(t)&=&{({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}})}(b-a)+({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)-({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}\\ &=&({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)\\\end{eqnarray*}\\ f''(t)=({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})(b-a)-({b^{3}\mathrm{e}^{tb}}+{a^{3}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)\\\ g(t)={(t(b-a))}^2\\ g'(t)=2t(b-a)^2\\ g''(t)=2(b-a)^2\\\\\\ \)
\(\begin{eqnarray*}\lim_{t \to 0}\frac{f(t)''}{g(t)''}&=&\lim_{t \to 0} \frac{({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})(b-a)-({b^{3}\mathrm{e}^{tb}}+{a^{3}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)}{2(b-a)^2}\\ &=&\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}\\ &=&\frac{a+b}{2}(=\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}=E(X))\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{m_X}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.(\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2})'\right|_{t=0} \end{eqnarray*}\)

info

これを前述のロピタルの定理を用いて導くことができるが、煩雑であるため省略する。連続一様分布の分散は、通常確率密度関数から求める手法が採用される。その値は、

\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{1}{12}{(b-a)}^2\end{eqnarray*}\)となる。

連続一様分布の分散の確率密度関数からの導出方法は連続一様分布の平均・分散の導出に記述した。

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