カイ二乗分布のわかりやすいまとめ

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このページでは、カイ二乗分布に関する特徴をまとめて紹介します。

カイ二乗分布とは

確率変数Z1,Z2,...,ZnZ_1,Z_2,...,Z_nが互いに独立であり、それぞれが標準正規分布N(0,1)N(0,1)に従うとき、

χ2=Z12+Z22+,...,+Zk2χ^2 = Z^2_1 + Z^2_2 +,...,+Z^2_k

χ2χ^2に従う分布を、自由度kk(足される標準正規分布の数)のカイ二乗分布と言います。

χχはギリシャ文字であり、カイと読みます。アルファベットのエックス(X)ではないことに注意

カイ二乗分布のグラフ

カイ二乗分布のグラフは以下のようになります。

カイ二乗のグラフは自由度によって大きく形状が異なります。これは、カイ二乗分布の自由度が、足される独立な標準正規分布の個数によって決まることに起因します。

カイ二乗分布のグラフ

カイ二乗分布の積率母関数

カイ二乗分布の積率母関数は以下となります。

MX(t)=(112t)k2M_{X}(t)={(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}

導出に関しては、「積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出」をご確認ください。

カイ二乗分布の確率密度関数

自由度nnのカイ二乗分布の確率密度関数は以下となります。

f(χ)=12n2Γ(n2)(χ2)n21eχ22f(χ) = \frac{1}{2^\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}(χ^2)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{χ^2}{2}}

ただし、Γ(n2)Γ(\frac{n}{2})はガンマ関数であり、

Γ(n2)=0tn21etdtΓ(\frac{n}{2}) = \int_0^∞ t^{\frac{n}{2}-1}e^{-t} dt

です。

カイ二乗分布の期待値と分散

カイ二乗分布の期待値と分散は以下となります。

期待値

E(x)=kE(x)=k

分散

V(x)=2kV(x)=2k

積率母関数を用いた導出は「積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出」をご確認ください。

確率密度関数を用いた導出は「確率密度関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出」をご確認ください。

カイ二乗分布の性質

カイ2乗分布には2つの性質があります。

性質1

二つの確率変数W1,W2W_1,W_2が、互いに独立にχ2(n1),χ2(n2)χ^2(n_1),χ^2(n_2)に従うとき、確率変数の和W1+W2W1+W2もまたカイ二乗分布に従い、その自由度はn1+n2n_1+n_2である。

これをカイ二乗分布の再生性といいます

性質2

N(μ,σ2)N(μ,σ^2)正規分布に従う母集団より抽出された、大きさnnの無作為標本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nにおいて、それぞれのXXは互いに独立に正規分布に従うので、

W=i=1n(XiXˉ)2σ2=(n1)S2σ2W = \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{(X_i-\bar{X})^2}{σ^2} = \frac{(n-1)S^2}{σ^2}

WWは自由度n-1のカイ二乗分布に従う。

カイ二乗分布とF分布の関係

F分布とは以下のような分布で、カイ二乗分布と親密な関係があります。

XXYYが互いに独立である確率変数X,YX, Yについて、XXが自由度nnのカイ二乗分布、確率変数YYが自由度mmのカイ二乗分布に従うと仮定します。

このとき、

F=XnYmF = \frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}

と表されるFFが従う分布を、F分布という。

カイ二乗分布とt分布の関係

t分布とは以下のような分布で、カイ二乗分布と親密な関係があります。

確率変数ZZが標準正規分布N(0,1)N(0,1)、確率変数WWが自由度nnのカイ二乗分布に従うとき、

t=ZWnt = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}}

と表されるttが従う分布を、t分布という。

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