カイ二乗分布の期待値と分散の導出

[公開日]2016/12/31[更新日]2017/09/18 [カテゴリー]カイ二乗分布 Written by  y0he1

確率密度関数(自由度k)\(f(x)=\frac{x^{{\frac{k}{2}}-1} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})}\)
期待値\(E(x)=k\)
分散\(V(x)=2k\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}\end{eqnarray*}\)

当ページは確率密度関数からのカイ二乗分布の平均・分散の導出過程を記しています。

積率母関数の導出及び、積率母関数からの期待値・分散の導出は、積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値・分散の導出をご覧ください。

カイ二乗分布について詳しくは、カイ二乗分布のわかりやすいまとめにて、まとめました。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

ガンマ関数の性質

\(\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt\)

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

\(\Gamma(k+1) = k! \)

\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

 
 

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{{\frac{k}{2}}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

という性質を使うと、

\(\Gamma(\frac{k}{2})=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1) 2^{\frac{k}{2}+1}}\end{eqnarray*}\)

この式の\(\frac{k}{2}+1\)の部分を\(\frac{k'}{2}\)と置くと、

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{eqnarray*}\)

となる。これはパラメータ(母数)がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{eqnarray*}\)

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k \end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{{\frac{k}{2}}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}{(\frac{k}{2}+1)}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+2)2^{-2} 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)\)

という性質を使うと、

\(\begin{eqnarray*}\Gamma(\frac{k}{2})&=&\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}\\ &=&\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+2)}{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1)}\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{eqnarray*}\)

info

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}\end{eqnarray*}\)

この式の\(\frac{k}{2}+2\)の部分を\(\frac{k'}{2}\)と置くと、

\(\begin{eqnarray*}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{eqnarray*}\)

となる。これはパラメータ(母数)がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{eqnarray*}\)

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}\\&=&k(k+2)\\\\V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&k(k+2) -{k}^2\\ &=&2k\end{eqnarray*}\)

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