確率密度関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出

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公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

確率密度関数(自由度k)

f(x)=xk21ex22k2Γ(k2)f(x)=\frac{x^{{\frac{k}{2}}-1} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})}

期待値

E(x)=kE(x)=k

分散

V(x)=2kV(x)=2k

また、ガンマ関数の性質についても確認しておきましょう。

Γ(k)=0tk1etdt\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt

Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)

Γ(k+1)=k!\Gamma(k+1) = k!

Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

期待値の導出

E(X)=0xf(x)dx=0xxk21ex2Γ(k2)2k2dx=0x(k2+1)1ex2Γ(k2)2k2dx=0x(k2+1)1ex2k21Γ(k2+1)212k2+1dx\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{{\frac{k}{2}}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{split}\end{equation*}

ここで、

Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)

というガンマ関数の性質を使うと、

Γ(k2)=Γ(k2+1)k2\Gamma(\frac{k}{2})=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}

となるので、

=0kx(k2+1)1ex2Γ(k2+1)2k2+1dx\begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{split}\end{equation*}

補足

x(k2+1)1ex2Γ(k2+1)2k2+1\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1) 2^{\frac{k}{2}+1}}\end{split}\end{equation*}

この式のk2+1\frac{k}{2}+1の部分をk2\frac{k'}{2}と置くと以下になる。

x(k2)1ex2Γ(k2)2k2\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{split}\end{equation*}

これはパラメータ(母数)がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

0x(k2)1ex2Γ(k2)2k2dx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

分散の導出

E(X2)=0x2f(x)dx=0x2xk21ex2Γ(k2)2k2dx=0x(k2+2)1ex2Γ(k2)2k2dx=0x(k2+2)1ex2k21Γ(k2+1)212k2+1dx=0x(k2+2)1ex2k21(k2+1)1Γ(k2+2)222k2+2dx\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{{\frac{k}{2}}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}{(\frac{k}{2}+1)}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+2)2^{-2} 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{split}\end{equation*}

ここで、

Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)

というガンマ関数の性質を使うと、

Γ(k2)=Γ(k2+1)k2=Γ(k2+2)k2(k2+1)\begin{equation*}\begin{split}\Gamma(\frac{k}{2})&=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}\\ &=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+2)}{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1)}\end{split}\end{equation*}

となるので、

=0k2(k2+1)22x(k2+2)1ex2Γ(k2+2)2k2+2dx\begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{split}\end{equation*}

補足

x(k2+2)1ex2Γ(k2+2)2k2+2\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}\end{split}\end{equation*}

この式のk2+2\frac{k}{2}+2の部分をk2\frac{k'}{2}と置くと、

x(k2)1ex2Γ(k2)2k2\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{split}\end{equation*}

となる。これはパラメータ(母数)がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

0x(k2)1ex2Γ(k2)2k2dx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

=k2(k2+1)22=k(k+2) \\\begin{equation*}\begin{split}&=\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}\\&=k(k+2)\end{split}\end{equation*}

V(X)=E(X2)(E(X))2=k(k+2)k2=2k\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+2) -{k}^2\\ &=2k\end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: カイ二乗分布