積率母関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出

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公式の確認

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積率母関数

MX(t)=(etp+1p)nM_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n

期待値

E(X)=npE(X)=np

分散

V(X)=np(1p)V(X)=np(1-p)

二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の導出

MX(t)=E(etk)=k=0netkP(X=k)=k=0netk(nk)pk(1p)nk=k=0netk <em>nC</em>kpk(1p)nk=k=0n <em>nC</em>k(etp)k(1p)nk=(etp+1p)n\begin{equation*}\begin{split}M_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\ <em>n C</em>k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\ <em>n C</em>k {(\mathrm{e}^tp)}^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n \end{split}\end{equation*}

積率母関数を用いた期待値の導出

E(X)=dMx(t)dtt=0=n(etp+1p)n1pett=0=n(1p+p)n1p=np\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=n{(\mathrm{e}^tp+1-p)}^{n-1}p\mathrm{e}^t|_{t=0}\\ &=n{(1-p+p)}^{n-1}p\\ &=np\end{split}\end{equation*}

積率母関数を用いた分散の導出

E(X2)=d2Mx(t)dt2t=0=(np(etp+1p)n1et)t=0=n(n1)p(etp+1p)n2pet+np(etp+1p)n1et=n(n1)p2+npV(X)=E(X2)E(X)2=np(1p)\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &={(np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t)}'|_{t=0}\\ &=n(n-1)p(\mathrm{e}^{t}p+1-p)^{n-2}p\mathrm{e}^t+np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t\\ &=n(n-1)p^2+np\\\\ V(X)&=E(X^2)-{E(X)}^2\\ &=np(1-p) \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: 二項分布