確率質量関数を用いたベルヌーイ分布の期待値(平均)と分散の導出

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公式の確認

確率質量関数

f(k;p)=pk(1p)(1k)f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}

期待値

E(X)=pE(X)=p

分散

V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)

期待値の導出

E(X)=k=01kP(X=k)=0×(1p)+1×p=pE(X)=\sum_{k=0}^{1}kP(X=k)=0×(1-p)+1×p=p

ベルヌーイ分布は試行結果が「0と1」の2種類のみしか存在しない確率分布である。

分散の導出

E(X2)=k=01k2P(X=k)=02×(1p)+12×p=pE(X^2)=\sum_{k=0}^{1}k^2P(X=k)=0^{2}×(1-p)+1^{2}×p=p

V(X)=E(X2)(E(X))2=p(1p)V(X)=E(X^2)-{(E(X))}^2=p(1-p)

分散の公式は、「分散とは?2種類の公式と計算例を解説」をご確認ください。


カテゴリ: ベルヌーイ分布