ベルヌーイ分布のわかりやすいまとめ

 2017/09/27    2018/04/30

ベルヌーイ分布に関する性質をわかりやすくまとめました。

確率質量関数\(f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}\)
期待値\(E(X)=p\)
分散\(V(X)=p(1-p)\)

ベルヌーイ分布とはどのようなものか

ベルヌーイ分布とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように2種類のみの結果しか得られないような実験、試行(ベルヌーイ試行)の結果を0と1で表した分布を指します。

1である確率がpであるとき0である確率は1-pとなる、非常にシンプルな確率分布です。

ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数は

\(f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}\)

で表します。kが成功か失敗を表すパラメータ(1の時成功、0の時失敗を表す)で、pは成功確率を表します。

この確率質量関数は(成功時(パラメータ\(k=1\)のとき)に成功確率のpとなり、失敗時(パラメータ\(k=0\)のとき)に失敗確率1-pとなることをやや複雑に示しただけです。

ベルヌーイ分布の期待値・分散

期待値

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum kP(X=k)\\&=&p\end{eqnarray*}\)

分散

\(\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&p(1-p) \end{eqnarray*}\)

期待値と分散の詳しい導出方法はこちらをご覧ください。

ベルヌーイ分布と二項分布

ベルヌーイ試行を繰り返し行い、その成功回数の分布が二項分布となります。

二項分布の確率質量関数は

\(P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\)

で表します。ここで、nはベルヌーイ試行の回数、pはベルヌーイ試行の成功確率を表し、kに成功回数を代入するとその確率を計算することができます。

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