ベイズ統計の仮説検定〜基本的な検定〜【第2回】

[公開日]2017/10/10[更新日]2017/10/11 [カテゴリー]ベイズ統計 Written by  masa

ベイズ統計の仮説検定は全6回にわたって説明しています。他のページもぜひご覧ください。

ベイズ統計の仮説検定

【第1回】ベイズ統計の仮説検定〜頻度論との違い〜
【第2回】ベイズ統計の仮説検定〜基本的な検定〜    ←イマココ!
【第3回】ベイズ統計の仮説検定〜頻度論の考え方に基づく検定〜
【第4回】ベイズ統計の仮説検定〜ベイズファクター〜
【第5回】ベイズ統計の仮説検定〜点帰無仮説の場合〜
【第6回】ベイズ統計の仮説検定〜問題点とまとめ〜

 
 

ベイズ統計における仮説の棄却と受容

前回(ベイズ統計の仮説検定〜頻度論との違い〜)、ベイズ統計において得られる確率が\(P(H_0|X)\)であることを説明しました。これはデータが得られた上で、帰無仮説を満たす確率です。

ではこれを用いて、どのように検定を行うのでしょうか。実は従来の仮説検定よりも簡単にできてしまいます。

例えば、次のような検定を考えます。

\(H_0:\theta\leq\theta_0\)
\(H_1:\theta>\theta_0\)

そしてデータを得たあと、事後分布が次のようになったとします。

さて、検定スタートです。データを得たもとでの\(H_o\)、\(H_1\)を満たす確率はそれぞれ以下のようになります。

赤い部分が\(P(H_0|X)\)、青い部分が\(P(H_1|X)\)です。青い部分の方が、赤い部分よりも確率が大きいですね。つまり、データを得たもとでの帰無仮説\(H_0\)を満たす確率よりも、対立仮説\(H_1\)を満たす確率の方が大きいと言えます。よって、帰無仮説\(H_0\)を棄却し、対立仮説\(H_1\)を採択します。これで検定はおしまいです。簡単ですね。

さらに、従来の仮説検定では、「帰無仮説を棄却しない=帰無仮説が正しいと判断する」ということは言えませんでしたが、仮説が成り立つ確率を直接算出するベイズ統計の検定では、この構図が言えてしまうのです。

例題〜ベイス統計における仮説検定〜

では実際に例題を用いて、ベイズ統計における仮説検定を行なってみましょう。

例題

1枚のコインがある。このコインを5回投げたところ、4回表が出た。このコインの表の出る確率は\(\frac{1}{2}\)以下と言えるか。ただし、事前のデータで、表の出る確率は\(Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)に従っているとする。

表の出る確率をpとし、帰無仮説と対立仮説を以下のように設定します。

\(H_0:p\leq\frac{1}{2}\)
\(H_1:p>\frac{1}{2}\)

事前分布は\(\pi(p)\)は\(Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)に従っているので、事後分布\(\pi(p|x)\)は

info

事前分布が\(Beta(\alpha,\beta)\)に従っているとき、事後分布は、

$$平均:\frac{\alpha+x}{\alpha+\beta+n}$$

$$分散:\frac{(\alpha+x)(\beta+n-x)}{(\alpha+\beta+n)^2(\alpha+\beta+n+1)}$$

のベータ分布\(Beta(\alpha+x,\beta+(n-x))\)に従う。ただし、\(x\)は表の出た回数である。

もっと詳しく→『ベータ分布の事後分布の平均と分散【ベイズ】

平均\(\frac{3}{4}\)の\(Beta(\frac{9}{2},\frac{3}{2})\)に従います。これをグラフで描くと次のようになります。

よって、帰無仮説\(H_0\)を満たす確率よりも、対立仮説\(H_1\)を満たす確率の方が大きいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択します。よって、表の出る確率は\(\frac{1}{2}\)よりも上である、と判断します。

(厳密には、必ず積分して確率を求めてください)

まとめ

いかがでしたでしょうか。このように、ベイズ統計における仮説検定では、仮説が成り立つ確率を直接計算して検定を行います。これが、従来の仮説検定との大きな違いです。

 

さて、次の章に行く前に少しだけ前説をさせてください。

いまこの章で行なったベイズ流仮説検定ですが、疑問に思ったことや「これはおかしいだろ!?」と思う方がいらっしゃるのではありませんか?そう思った方は、頻度論における従来の仮説検定の考え方が身についているのだと思います。

例えば、先ほどの例において、以下のグラフのように帰無仮説\(H_0\)を満たす確率が40%、対立仮説\(H_1\)を満たす確率が60%だとします。

この場合、対立仮説を採択する、つまり帰無仮説を棄却する、という結論になりましたね。

しかしどうでしょう、帰無仮説を満たす確率は40%もあるのです。これは、従来の頻度論の仮説検定における「やむを得ない理由がない限り、帰無仮説を棄却すべきではない」という考え方に反しています。

 

次の章からは、この「やむを得ない理由がない限り、帰無仮説を棄却すべきではない」という考え方に基づたベイズ統計における仮説検定の説明を行っていきます。

ベイズ統計の仮説検定

【第1回】ベイズ統計の仮説検定〜頻度論との違い〜
【第2回】ベイズ統計の仮説検定〜基本的な検定〜    ←イマココ!
【第3回】ベイズ統計の仮説検定〜頻度論の考え方に基づく検定〜
【第4回】ベイズ統計の仮説検定〜ベイズファクター〜
【第5回】ベイズ統計の仮説検定〜点帰無仮説の場合〜
【第6回】ベイズ統計の仮説検定〜問題点とまとめ〜

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