2017/09/11
2020/04/14
固有値、固有ベクトルの求め方と例題
当ページでは、固有値、固有ベクトルの求め方を例題を通して解説していきます。
固有値の求め方
n次正方行列Aについて、
Ax = λx,x \(\neq\) 0
のとき、λをAの固有値といい、xをλに関する固有ベクトルといいます。この式から
\( (λI-A)x = 0 \)
が得られ、x \(\neq\) 0となるには、
\( det(λI-A) = 0 \)
となることが必要です。
よって、固有値を求めるための公式は以下のようになります。
n次正方行列Aについて、
\( det(λI-A) = 0 \)
のとき、λは行列Aの固有値である。
固有ベクトルの求め方
固有ベクトルは、固有値を使って求めます。上記に示した、
\( (λI-A)x = 0 \)
に求めた固有値λを代入し、等式が成り立つようなxを固有ベクトルと言います。つまり固有値の数だけ、それに対する固有ベクトルが存在します。
固有値と固有ベクトルの例題
行列\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)の固有値と固有ベクトルを求めよ。
解答
公式:\( det(λI-A) = 0 \)に行列Aを代入すると、
\( det(λ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix}) = 0 \)
です。この式を整理すると、
\( det \begin{pmatrix} λ-4 & -1\\ 2 & λ-1 \end{pmatrix} = 0 \)
\(\Leftrightarrow (λ-4)(λ-1) – (-1)2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow λ^2 – 5λ + 6 = 0 \)
\(\Leftrightarrow (λ-2)(λ-3) = 0 \)
よって、固有値λは2と3になります。
次にそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。
・固有値\(λ = 2\)のとき
\( (λI-A)x = 0 \)
に\(λ = 2\)と\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)を代入すると、
\( (2\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0 \)
\( \begin{pmatrix} -2 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}x = 0 \)
よって、\( x= \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} \)です。
・固有値\(λ = 3\)のとき
\( (λI-A)x = 0 \)
に\(λ = 3\)と\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)を代入すると、
\( (3\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0 \)
\( \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 2 & 2 \end{pmatrix}x = 0 \)
よって、\( x= \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \)です。
Recommended