固有値、固有ベクトルの求め方と例題

[記事公開日]2017/09/11 [カテゴリー]固有値 Written by  OKI

当ページでは、固有値、固有ベクトルの求め方を例題を通して解説していきます。

 
 

固有値の求め方

n次正方行列Aについて、

Ax = λx,x \(\neq\) 0

のとき、λをAの固有値といい、xをλに関する固有ベクトルといいます。この式から

\( (λI-A)x = 0 \)

が得られ、x \(\neq\) 0となるには、

\( det(λI-A) = 0 \)

となることが必要です。

よって、固有値を求めるための公式は以下のようになります。

固有値を求める公式
 

n次正方行列Aについて、

\( det(λI-A) = 0 \)

のとき、λは行列Aの固有値である。

固有ベクトルの求め方

固有ベクトルは、固有値を使って求めます。上記に示した、

\( (λI-A)x = 0 \)

に求めた固有値λを代入し、等式が成り立つようなxを固有ベクトルと言います。つまり固有値の数だけ、それに対する固有ベクトルが存在します。

固有値と固有ベクトルの例題

例題

行列\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}\)の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答

公式:\( det(λI-A) = 0 \)に行列Aを代入すると、

\( det(λ \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}  -\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}) = 0 \)

です。この式を整理すると、

\( det \begin{pmatrix} λ-4 & -1\\  2 &  λ-1 \end{pmatrix}  = 0 \)

\(\Leftrightarrow   (λ-4)(λ-1) - (-1)2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow   λ^2 - 5λ + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow   (λ-2)(λ-3) = 0 \)

よって、固有値λは2と3になります。

次にそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

・固有値\(λ = 2\)のとき

\( (λI-A)x = 0 \)

に\(λ = 2\)と\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}\)を代入すると、

\( (2\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0 \)

\( \begin{pmatrix} -2 & -1\\  2 & 1 \end{pmatrix}x = 0 \)

よって、\( x= \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} \)です。

・固有値\(λ = 3\)のとき

\( (λI-A)x = 0 \)

に\(λ = 3\)と\( A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}\)を代入すると、

\( (3\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0 \)

\( \begin{pmatrix} -1 & -1\\  2 & 2 \end{pmatrix}x = 0 \)

よって、\( x= \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \)です。

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