確率質量関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出

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公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

確率質量関数

P(X=k)=λkeλk!P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}

期待値

E(X)=λE(X)=λ

分散

V(X)=λV(X)=λ

期待値の導出

E(X)=k=0nkP(X=k)=k=0nkλkeλk!=k=0nλkeλ(k1)!=λk=0nλk1eλ(k1)!=λ\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=λ\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=λ\end{split}\end{equation*}

補足

λk1eλ(k1)!\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}

のk-1をk'とおくと、

λkeλ(k)!\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率質量関数である。

よって、

k=0nλkeλ(k)!=1\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1

確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

分散の導出

E(X2)=k=0nk2P(X=k)=k=0nk2λkeλk!=k=0n(k(k1)+k)λkeλk!=k=0nk(k1)λkeλk!+k=0nkλkeλk!\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\sum_{k=0}^{n}k^{2}P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\end{split}\end{equation*}

補足

k=0nkλkeλk!\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}

これは、先ほど導出したポアソン分布の期待値であるため、λとなる。

=k=0nλkeλ(k2)!+λ=λ2k=0nλk2eλ(k2)!+λ=λ2+λ\begin{equation*}\begin{split}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=λ^{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=λ^{2}+λ\end{split}\end{equation*}

補足

λk2eλ(k2)!\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}

のk-2をk'とおくと、

λkeλ(k)!\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率質量関数である。

よって、

k=0nλkeλ(k)!=1\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1

確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

V(X)=E(X2)(E(X))2=λ2+λ(λ)2=λ\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=λ^{2}+λ-(λ)^2\\ &=λ\end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: ポアソン分布

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