積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出

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公式の確認

まずは、公式を確認しましょう。

積率母関数

MX(t)=eλ(et1)M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}

期待値

E(X)=λE(X)=λ

分散

V(X)=λV(X)=λ

積率母関数の導出

MX(t)=E(etk)=k=0etkP(X=k)=k=0etkλkeλk!=eλk=0(λet)kk!=eλeλet=eλ(et1)\begin{equation*}\begin{split}M_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\mathrm{e}^{-λ}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{(\lambda \mathrm{e}^{t})}^{k}}{k!}\\ &=\mathrm{e}^{-λ}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}\\ &=\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\end{split}\end{equation*}

補足

指数関数のマクローリン展開は、

ex=k=0xkk!\mathrm{e}^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}

である。上式をx=λetx=\lambda \mathrm{e}^{t}と置換すると、

eλet=k=0λetkk!\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{\lambda \mathrm{e}^{t}}^k}{k!}

となる。これを用いて式変形を行う。

積率母関数を用いた期待値の導出

E(X)=dMx(t)dtt=0=(eλ(et1))=(λ(et1))eλ(et1)t=0=λet+λ(et1)t=0=λ\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &={(\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}'\\ &=\left.{(\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}'\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=\left.\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=\lambda\end{split}\end{equation*}

積率母関数を用いた分散の導出

E(X2)=d2Mx(t)dt2t=0=(λet+λ(et1))t=0=λ(t+λ(et1))et+λ(et1)t=0=λ(1+λet)et+λ(et1)t=0=λ2+λV(X)=E(X2)(E(X))2=λ2+λλ2=λ\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=\left. {(\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}'\right|_{t=0}\\ &=\left. \lambda {(t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}'\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=\left. \lambda {(1+\lambda \mathrm{e}^{t})}\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &={\lambda}^2+\lambda\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &={\lambda}^2+\lambda-{\lambda}^2\\ &=\lambda\end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: ポアソン分布

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