確率密度関数を用いたF分布の期待値と分散の導出

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F分布の公式の確認

F分布の公式を確認しましょう。

確率密度関数

f(z)=(nm)n2B(n2,m2)zn21(1+nmz)n+m2f(z) = \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}}

期待値

E(Z)=mm2E(Z) = \frac{m}{m-2}

分散

V(Z)=2m2(n+m2)n(m2)2(m4)V(Z) = \frac{2m^{2}(n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)}

ベータ関数とガンマ関数の確認

導出過程で利用するベータ関数とガンマ関数について確認しましょう。

ベータ関数の定義

B(a,b)=01ta1(1t)b1dt B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt  

ガンマ関数の性質

Γ(a+1)=aΓ(a)\Gamma(a+1) = a \Gamma(a)

ベータ関数とガンマ関数の関係

B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}

期待値の導出

まずはZZの期待値E(Z)E(Z)を求めます。連続型確率変数の場合の期待値の定義より、次のように求められます。

 E(Z)=0zf(z)dz=(nm)n2B(n2,m2)0zn2(1+nmz)n+m2dz\begin{equation*}\begin{split}  E(Z) &= \displaystyle \int_0^\infty z f(z) dz \\ &= \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^\infty \frac{z^{\frac{n}{2}}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}} dz \end{split}\end{equation*}

ここで、11+nmz=u\frac{1}{1+\frac{n}{m}z} = uとおくと

z=mn(u11)z = \frac{m}{n}(u^{-1} - 1)

上式をuuについて微分すると

dzdu=mnu2\frac{dz}{du} = -\frac{m}{n}u^{-2}

となります。

上記をE(Z)E(Z)の式に代入すると

E(Z)=(nm)n2B(n2,m2) 10(mn(u11))n2un+m2(mnu2)du= mnB(n2,m2)01(u11)n2un+m22du=mnB(n2,m2)01(1u)n2um22du\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_1^0 (\frac{m}{n}(u^{-1} - 1))^{\frac{n}{2}} u^{\frac{n+m}{2}} (-\frac{m}{n}u^{-2}) du \\ &=  \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (u^{-1} - 1)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{n+m}{2} - 2} du \\ &= \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{m}{2} - 2} du \end{split}\end{equation*}

ここで、3行目のuuの積分式について、次のように変形を行うことができます。

01(1u)n2um22du=01um211(1u)n2+11du=B(m21,n2+1)\begin{equation*}\begin{split} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{m}{2} - 2} du &= \displaystyle \int_0^1 u^{\frac{m}{2}-1-1} (1-u)^{\frac{n}{2}+1-1} du \\ &= \displaystyle B(\frac{m}{2}-1, \frac{n}{2}+1) \end{split}\end{equation*}

ベータ関数の定義と一致すると言えるので、

E(Z)=mnB(n2,m2)B(m21,n2+1)E(Z) = \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} B(\frac{m}{2}-1, \frac{n}{2}+1)

さらに、ベータ関数とガンマ関数の関係式より

E(Z)= mnB(n2,m2)Γ(m21)Γ(n2+1)Γ(m2+n2)E(Z) = \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2}-1)\Gamma(\frac{n}{2}+1)}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}

最後にガンマ関数の性質を用いて、

E(Z)=mnB(n2,m2)1m21Γ(m2)n2Γ(n2)Γ(m2+n2)=mm21B(n2,m2)Γ(m2)Γ(n2)Γ(m2+n2)=mm2Γ(n2+m2)Γ(m2)Γ(n2)Γ(m2)Γ(n2)Γ(m2+n2)=mm2\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\frac{1}{\frac{m}{2}-1}\Gamma(\frac{m}{2})\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \frac{1}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{m}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \end{split}\end{equation*}

分散の導出

次にZZの分散を求めます。分散の性質より、

V(Z)=E(Z2)E(Z)2V(Z) = E(Z^2) - E(Z)^2

E(Z)E(Z)は期待値の導出過程で求めたので、E(Z2)E(Z^2)を求めます。

E(Z)= z2f(z)dz =0z2(nm)n2B(n2,m2)zn21(1+nmz)n+m2dz=(nm)n2B(n2,m2)0zn2+1(1+nmz)n+m2dz\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle  \int_{-\infty}^\infty z^2 f(z) dz \\ &= \displaystyle \int_0^\infty z^2 \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}}dz \\ &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^\infty \frac{z^{\frac{n}{2}+1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}} dz \end{split}\end{equation*}

ここで11+nmz=u\frac{1}{1+\frac{n}{m}z} = uとおくことで

z=mn(u11)z = \frac{m}{n}(u^{-1} - 1)

上式をuuについて微分すると

dzdu=mnu2\frac{dz}{du} = -\frac{m}{n}u^{-2}

E(Z2)E(Z^2)に代入すると

E(Z2)=(nm)n2B(n2,m2) 10(mn(u11))n2+1un+m2(mnu2)du=m2n2B(n2,m2)01(u11)n2+1un+m22du= m2n2B(n2,m2)01(1u)n2+1um23du\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_1^0 (\frac{m}{n}(u^{-1}-1))^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{n+m}{2}} (-\frac{m}{n}u^{-2}) du \\ &= \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (u^{-1} - 1)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{n+m}{2} - 2}du \\ &=  \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{m}{2}-3} du \end{split}\end{equation*}

3行目のuuの積分式についてベータ関数の定義に一致させるように式変形をします。

01(1u)n2+1um23du=01um221(1u)n2+21du=B(m22,n2+2)\begin{equation*}\begin{split} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{m}{2}-3} du &= \displaystyle \int_0^1 u^{\frac{m}{2}-2-1} (1-u)^{\frac{n}{2}+2-1} du \\ &= \displaystyle B(\frac{m}{2}-2, \frac{n}{2}+2) \end{split}\end{equation*}

上式を代入することで

E(Z2)=m2n2B(n2,m2)B(m22,n2+2)E(Z^2) = \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} B(\frac{m}{2}-2, \frac{n}{2}+2)

となります。

ここでベータ関数とガンマ関数の関係式を用いて、

E(Z2)=m2n2B(n2,m2)Γ(m22)Γ(n2+1)Γ(m2+n2)E(Z^2) = \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2}-2)\Gamma(\frac{n}{2}+1)}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}

さらにガンマ関数の性質を用いることで、E(Z2)E(Z^2)は以下のようになります。

E(Z)= m2n2B(n2,m2)(1m21)(1m21)Γ(m2)(n2+1)n2Γ(n2)Γ(m2+n2)=m2(n+2)n(m2)(m4)1B(n2,m2)Γ(m2)Γ(n2)Γ(m2+n2)=m2(n+2)n(m2)(m4)Γ(n2+m2)Γ(n2)Γ(m2)Γ(m2)Γ(n2)Γ(m2+n2)=m2(n+2)n(m2)(m4)\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle  \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{(\frac{1}{\frac{m}{2}-1})(\frac{1}{\frac{m}{2}-1})\Gamma(\frac{m}{2})(\frac{n}{2}+1)\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \frac{1}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \end{split}\end{equation*}

この値をV(Z)V(Z)の式に代入すると

V(Z)=m2(n+2)n(m2)(m4)m2(m2)2=m2{(n+2)(m2)n(m4)}n(m2)2(m4)=2m2(n+m2)n(m2)2(m4)\begin{equation*}\begin{split} V(Z) &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} - \frac{m^2}{(m-2)^2} \\ &= \frac{m^2 \{ (n+2)(m-2)-n(m-4)\} }{n(m-2)^2 (m-4)} \\ &= \frac{2m^2 (n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)} \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: F分布

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