カイ二乗分布を用いたF分布の期待値と分散の導出

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F分布の公式の確認

F分布の公式を確認しましょう。

確率密度関数

f(z)=(nm)n2B(n2,m2)zn21(1+nmz)n+m2f(z) = \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}}

期待値

E(Z)=mm2E(Z) = \frac{m}{m-2}

分散

V(Z)=2m2(n+m2)n(m2)2(m4)V(Z) = \frac{2m^{2}(n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)}

ガンマ関数の確認

カイ二乗分布を用いた期待値・分散の導出に必要なガンマ関数の性質を紹介します。

性質①

Γ(a)=0ta1etdt\Gamma(a) = \int_0^\infty t^{a-1} \mathrm{e}^{-t} dt

性質②

Γ(a+1)=aΓ(a)\Gamma(a+1) = a \Gamma(a)

期待値の導出

X,YX, Yがそれぞれ自由度n,mn, mのカイ二乗分布に従う互いに独立な確率変数とし、Z=XnYmZ = \frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}が自由度n,mn, mのF分布に従うとします。

まず、Zの期待値について考えましょう。

E(Z)=E(XnYm)=E(Xn)E(1Ym)=mnE(X)E(1Y)\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle E(\frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}) \\ &= \displaystyle E(\frac{X}{n})E(\frac{1}{\frac{Y}{m}}) \\ &= \displaystyle \frac{m}{n}E(X)E(\frac{1}{Y}) \end{split}\end{equation*}

補足

上記の式変形には、独立な2つの確率変数X,YX,Yの期待値の性質期待値の線形性を利用しています。

期待値の性質については、「期待値とは?定義や性質を解説」をご確認ください。

次に、E(X)E(X)E(1Y)E(\frac{1}{Y})を考えます。

XXは自由度nnのカイ二乗分布に従う確率変数なので、

E(X)=nE(X) = n

補足

カイ二乗分布については、「カイ二乗分布のわかりやすいまとめ」をご確認ください。

次にE(1Y)E(\frac{1}{Y})を求めます。

E(1Y)=01yf(y)dy=01y1Γ(m2)(12)m2ym21ey2dy =1Γ(m2)(12)m20ym221ey2dy= 1Γ(m2)(12)m2 02m22wm221ew2dw= 1Γ(m2)120wm221ewdw\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y}) &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y} f(y) dy \\ &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y} \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy  \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty y^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty 2^{\frac{m}{2}-2} w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} 2 dw \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{1}{2} \int_0^\infty w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw \end{split}\end{equation*}

補足

4行目において、y2=w\frac{y}{2} = wとおいています。ここで5行目のwwの積分式について、ガンマ関数の性質①を利用して次のように式を変形します。

0wm221ewdw=Γ(m22)\int_0^\infty w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw = \Gamma(\frac{m-2}{2})

上記に加えて、ガンマ関数の性質②を利用することで、最終的にE(1Y)E(\frac{1}{Y})は以下の値となります。

E(1Y)=12Γ(m22)Γ(m2)=12Γ(m22)(m22)Γ(m22)=121m22=1m2\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y}) &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{m-2}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{m-2}{2})}{(\frac{m-2}{2})\Gamma(\frac{m-2}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{m-2}{2}} = \frac{1}{m-2} \end{split}\end{equation*}

E(X)E(X)E(1Y)E(\frac{1}{Y})の値をE(Z)E(Z)に代入します。

E(Z)= mnE(X)E(1Y)=mn×n×1m2=mm2\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &=  \displaystyle \frac{m}{n}E(X)E(\frac{1}{Y}) \\ &= \displaystyle \frac{m}{n} \times n \times \frac{1}{m-2}\\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \end{split}\end{equation*}

これで、F分布の期待値を導出できました。

分散の導出

まず、Zの分散V(Z)V(Z)を考えましょう。

V(Z)=E(Z2)(E(Z))2V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2

E(Z)E(Z)は期待値の導出過程で求めたので、E(Z2)E(Z^2)を求めます。

E(Z2)=E(X2n2Y2m2)=m2n2E(X2)E(1Y2)\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle E(\frac{\frac{X^2}{n^2}}{\frac{Y^2}{m^2}}) \\ &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2}E(X^2)E(\frac{1}{Y^2}) \end{split}\end{equation*}

E(X2)E(X^2)は、XXは自由度nnのカイ二乗分布に従う確率変数なので、

E(X2)=n2+2nE(X^2) = n^2 + 2n

次に、E(1Y2)E(\frac{1}{Y^2})を求めます。

E(1Y2)=01y2f(y)dy= 01y21Γ(m2)(12)m2ym21ey2dy=1Γ(m2)(12)m20ym222ey2dy=1Γ(m2)(12)m202m23wm222ew2dw=1Γ(m2)(12)m22m220wm421ewdw\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y^2}) &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y^2} f(y) dy \\ &= \displaystyle  \int_0^\infty \frac{1}{y^2} \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty y^{\frac{m-2}{2}-2} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty 2^{\frac{m}{2}-3} w^{\frac{m-2}{2}-2} \mathrm{e}^{-w} 2dw \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} 2^{\frac{m}{2}-2} \int_0^\infty w^{\frac{m-4}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw \end{split}\end{equation*}

補足

4行目においてy2=w\frac{y}{2} = wとおきました。また、5行目のwwの積分式についてガンマ関数の性質①より

0wm421ewdw=Γ(m42)\int_0^\infty w^{\frac{m-4}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw = \Gamma(\frac{m-4}{2})

と表すことができます。上式をE(1Y2)E(\frac{1}{Y^2})に代入し、さらにガンマ関数の性質②を用います。

E(1Y2)=1Γ(m2)(12)2Γ(m42)=1Γ(m2)(12)21m221m21Γ(m2)=141(m22)(m21)=1(m4)(m2)\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y^2}) &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^2 \Gamma(\frac{m-4}{2}) \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^2 \frac{1}{\frac{m}{2}-2} \frac{1}{\frac{m}{2}-1} \Gamma(\frac{m}{2}) \\ &= \displaystyle \frac{1}{4} \frac{1}{(\frac{m}{2}-2)(\frac{m}{2}-1)} \\ &= \displaystyle \frac{1}{(m-4)(m-2)} \end{split}\end{equation*}

したがって、この値をE(Z2)E(Z^2)に代入すると

E(Z2)=m2n2E(X2)E(1Y2)=m2n2×n2+2n×1(m4)(m2)=m2(n+2)n(m4)(m2)\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2} E(X^2) E(\frac{1}{Y^2}) \\ &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2} \times n^2 + 2n \times \frac{1}{(m-4)(m-2)} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-4)(m-2)} \end{split}\end{equation*}

ZZの分散V(Z)V(Z)は以下となります。

Var(Z)=E(Z2)(E(Z))2=m2(n+2)n(m4)(m2)m2(m2)2=m2{(n+2)(m2)n(m4)}n(m2)2(m4)=2m2(n+m2)n(m2)2(m4)\begin{equation*}\begin{split} Var(Z) &= \displaystyle E(Z^2) - (E(Z))^2 \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-4)(m-2)} - \frac{m^2}{(m-2)^2} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 \{ (n+2)(m-2)-n(m-4) \} }{n(m-2)^2 (m-4)} \\ &= \frac{2m^2 (n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)} \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: F分布

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