確率質量関数を用いた二項分布の最頻値の導出

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二項分布の最頻値の導出

二項分布の確率質量関数は以下の式で表されます。

f(x)=(xx)pxqnxf\left( x\right) =\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}

最頻値とは、確率質量関数f(x)f(x)が最大となるxxを指します。

f(x)f(x)は常に正の値をとるので、

f(x)f(x1)0 \begin{equation*}\begin{split}f\left( x\right) -f\left( x-1\right) ≧0\\ \end{split}\end{equation*}

を満たす最大のxxが最頻値です。

f(x)f(x1)1(nx+1)!(x1)!p(nx)!x!q1(nx+1)pxq1x(p+q)p(n+1)\begin{equation*} \begin{split} &\Leftrightarrow \dfrac {f(x)}{f(x-1)} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac {(n-x+1)! \cdot (x-1)!p}{(n-x)! \cdot x!q} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac {(n-x+1)p}{xq} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow x(p+q) \leq p(n+1) \end{split} \end{equation*}

p+q=1p+q = 1 より、

xp(n+1)\begin{equation*} \Leftrightarrow x \leq p(n+1) \end{equation*}

よって最頻値xxは、

p(n+1)1xp(n+1)p(n+1)-1≦x≦p(n+1)

を満たす整数xxとなります。(等号成立時に最頻値は二つになります。)

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カテゴリ: 二項分布

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