ベータ分布とは?期待値と分散の導出も解説

更新日

ベータ分布とは(Beta distribution)

ベータ分布は、ααββの2つのパラメータによって特徴づけられる分布で、二項分布やディリクレ分布と関係があります。

ベータ分布の確率密度関数

ベータ分布の確率密度関数は以下のように表されます。

f(x)=xα1(1x)β1B(α,β)f(x)=\frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}

B(α,β)B({\alpha},{\beta})は、ベータ関数と呼ばれる正規化定数で、以下のような性質があります。

B(α,β)=01tα1(1t)β1dtΒ(α,β)=\int_{ 0 }^{ 1 } t^{α-1} {(1-t)}^{β-1} dt

B(α+1,β)=α(α+β)B(α,β)Β(α+1,β)=\frac{α}{(α+β)}Β(α,β)

ベータ分布の期待値

ベータ分布の期待値は以下のように表されます。

E(X)=αα+βE(X)=\frac{\alpha}{{\alpha}+{\beta}}

以下で期待値を導出します。

E(X)=01xf(x)dx=01xxα1(1x)β1B(α,β)dx=01xα(1x)β1B(α,β)dx\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{1}xf(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 }x \frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\ \end{split}\end{equation*}

α=α1\alpha={\alpha}'-1と置換して、

=01xα1(1x)β1B(α1,β)dx\begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'-1},{\beta})}dx\\ \end{split}\end{equation*}

補足

ベータ関数の性質B(α+1,β)=α(α+β)B(α,β)Β(α+1,β)=\frac{α}{(α+β)}Β(α,β)を利用すると次のようになる

B(α1,β)=α+β1α1B(α,β)B({{\alpha}'-1},{\beta})=\frac{{\alpha}'+\beta-1}{{\alpha}'-1}B({{\alpha}'},{\beta})

   =α1α+β101xα1(1x)β1B(α,β)dx\ \ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\frac{{\alpha}'-1}{{\alpha}'+\beta-1}\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}dx\\ \end{split}\end{equation*}

補足

xα1(1x)β1B(α,β)\frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}

これはパラメータがα,β{\alpha}',\betaガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

01xα1(1x)β1B(α,β)dx=1\int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}dx=1

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるためである。

α=α+1{\alpha}'={\alpha}+1に再度置換して、

   =αα+β\ \ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \end{split}\end{equation*}

ベータ分布の分散

ベータ分布の分散は以下のように表されます。

V(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)V(X)=\frac{{\alpha}{\beta}}{{({\alpha}+{\beta})}^2({\alpha}+{\beta}+1)}

以下で分散をを導出します。

E(X2)=01x2f(x)dx=01x2xα1(1x)β1B(α,β)dx=01xα+1(1x)β1B(α,β)dx\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 }x^{2}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 }x^{2} \frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}+1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}dx\end{split}\end{equation*}

α+1=α1\alpha+1={\alpha}'-1に置換する。

   =01xα1(1x)β1B(α2,β)dx\ \ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'-2},{\beta})}dx\\ \end{split}\end{equation*}

補足

上記のベータ関数の性質B(α+1,β)=α(α+β)B(α,β)Β(α+1,β)=\frac{α}{(α+β)}Β(α,β)を使うと、次のようになる。

B(α2,β)=α+β2α2B(α1,β)=α+β2α2α+β1α1B(α,β)\begin{equation*}\begin{split}B({{\alpha}'-2},{\beta})&=\frac{{\alpha}'+\beta-2}{{\alpha}'-2}B({{\alpha}'-1},{\beta})\\ &=\frac{{\alpha}'+\beta-2}{{\alpha}'-2}\frac{{\alpha}'+\beta-1}{{\alpha}'-1}B({{\alpha}'},{\beta})\end{split}\end{equation*}

   =α2α+β2α1α+β101xα1(1x)β1B(α,β)dx\ \ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\frac{{\alpha}'-2}{{\alpha}'+\beta-2}\frac{{\alpha}'-1}{{\alpha}'+\beta-1}\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}dx\end{split}\end{equation*}

補足

xα1(1x)β1B(α,β)\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}\end{split}\end{equation*}

これはパラメータがα,β{\alpha}',\betaガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

01xα1(1x)β1B(α,β)dx=1\displaystyle \int_{ 0 }^{ 1 } \frac{x^{{\alpha}'-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({{\alpha}'},{\beta})}dx=1

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるためである。

α=α+2{\alpha}'={\alpha}+2に置換して、

=α(α+1)(α+β)(α+β+1)V(X)=E(X2)(E(X))2=α(α+1)(α+β)(α+β+1)(αα+β)2=αβ(α+β)2(α+β+1)\begin{equation*}\begin{split}&=\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &=\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}-{(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})}^2\\ &=\frac{\alpha\beta}{{(\alpha+\beta)}^{2}(\alpha+\beta+1)}\end{split}\end{equation*}

ベータ分布と他の分布との関係

ベルヌーイ分布、二項分布との関係

ベータ分布は、ベルヌーイ分布二項分布共役事前分布です。

共役事前分布については、「共役事前分布を分かりやすく解説」をご確認ください。

ディリクレ分布との関係

ディリクレ分布は、ベータ分布を多変量に拡張した分布です。ディリクレ分布を一変量で表現した場合、ベータ分布に一致します。

関連記事

共役事前分布を分かりやすく解説

ディリクレ分布とは?期待値・分散・共分散の導出も解説

カテゴリ: ベータ分布

関連サービス

講座一覧ページ

記事一覧はこちら

無料で統計学を学ぶ