ベルヌーイ分布の分かりやすいまとめ

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ベルヌーイ分布とは

ベルヌーイ分布とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように2種類のみの結果しか得られないような試行(ベルヌーイ試行)の結果を0と1で表した分布を指します。

1である確率がppであるとき、0である確率は1p1-pとなる、非常にシンプルな確率分布です。

ベルヌーイ分布の公式

ベルヌーイ分布にまつわる公式を確認しておきましょう。

確率質量関数

f(k;p)=pk(1p)(1k)f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}

期待値

E(X)=pE(X)=p

分散

V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)

ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下です。

f(k;p)=pk(1p)(1k)f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}

kkが成功か失敗を表すパラメータ(1→成功、0→失敗を表す)で、ppは成功確率を表します。

この確率質量関数は(成功時(パラメータk=1k=1のとき)に成功確率のppとなり、失敗時(パラメータk=0k=0のとき)に失敗確率1p1-pとなることを示しています。

ベルヌーイ分布の期待値と分散

導出については、「確率質量関数を用いたベルヌーイ分布の期待値(平均)と分散の導出」をご確認ください。

期待値

E(X)=kP(X=k)=p\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum kP(X=k)\\&=p\end{split}\end{equation*}

分散

V(X)=E(X2)(E(X))2=p(1p)\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=p(1-p) \end{split}\end{equation*}

ベルヌーイ分布と二項分布

ベルヌーイ試行を繰り返し行い、その成功回数の分布が二項分布となります。

二項分布の確率質量関数は以下です。

P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}

ここで、nnはベルヌーイ試行の回数、ppはベルヌーイ試行の成功確率を表し、kkに成功回数を代入するとその確率を計算することができます。

ベルヌーイ分布の事後分布

ベルヌーイ分布からデータを取得する場合、共役事前分布がベータ分布、その事後分布もベータ分となります。

よって、ベルヌーイ分布の事後分布の平均・分散について、以下のようなことが言えます。

成功確率ppの試行を11回行い、xx回成功したとする(xxBi(1,p)Bi(1,p)に従う)。この試行をnn回行った。

パラメータppの事前分布としてBeta(α,β)Beta(\alpha,\beta)のベータ分布をとるとき、ppの事後分布は、

平均:α+γα+β+n\frac{\alpha+\gamma}{\alpha+\beta+n}

分散:(α+γ)(β+nγ)(α+β+n)2(α+β+n+1)\frac{(\alpha+\gamma)(\beta+n-\gamma)}{(\alpha+\beta+n)^2(\alpha+\beta+n+1)}

のベータ分布Beta(α+γ,β+(nγ))Beta(\alpha+\gamma,\beta+(n-\gamma))に従う。

ただし、γ\gammaは成功回数である。

具体的な導出は、「ベルヌーイ分布の事後分布の平均と分散」をご確認ください。

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カテゴリ: ベルヌーイ分布

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