確率分布の密度関数・期待値・分散一覧

[公開日]2016/09/07[更新日]2017/09/18

代表的な確率分布の密度関数、期待値、分散を一覧にしました。期待値や分散の導出方法も各項目のリンクをクリックすればご覧いただけます。

正規分布

確率密度関数\(f(X) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}\)
期待値\(E(X)=μ\)
分散\(V(X)=σ^2\)
標準偏差\(SD(X)=σ\)
積率母関数\({\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\)

⇨ 正規分布の期待値・分散・標準偏差の導出(証明)
積率母関数を用いた正規分布の平均・分散の導出

連続一様分布

確率密度関数\(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{b-a} & (a\leq {x} \leq {b}) \\
0 & (otherwise)
\end{array} \right.\)
期待値\(E(X)=\frac{1}{2}(a+b)\)
分散\(V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\)
積率母関数\(\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\)

連続一様分布の平均・分散の導出(証明)
⇨ 積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出

指数分布

確率密度関数\(f(X;λ) = λe^{-λx}\)
期待値\(\begin{eqnarray*}E(X)=\frac{1}{λ}\end{eqnarray*}\)
分散\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{1}{λ^2}\end{eqnarray*}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

⇨  指数分布の期待値・分散の導出(証明)
積率母関数を用いた指数分布の期待値・分散の導出

t分布

確率密度関数\(f(x)=\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}\)
期待値\(E(X)=0\)
分散\(V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}
\infty & (1<\gamma \leq2) \\ \frac{\gamma}{\gamma-2} & (\gamma>2)
\end{array} \right.\)

t分布とは?
t検定とは?種類と手順を解説!

F分布

確率密度関数\(f(x)=\frac{{\frac{m}{n}}^{\frac{m}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})} \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{{(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}\)
期待値\(E(X)=\frac{n}{n-2} (n\geq3)\)
分散\(V(X)=\frac{2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)} (n\geq5)\)

⇨ F分布の期待値・分散をカイ二乗分布を用いて導出
⇨ F分布の期待値・分散を確率密度関数を用いて導出
⇨ F分布の確率密度関数をカイ二乗分布を用いて導出

カイ二乗分布

確率密度関数(自由度k)\(f(x)=\frac{x^{{\frac{k}{2}}-1} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})}\)
期待値\(E(x)=k\)
分散\(V(x)=2k\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}\end{eqnarray*}\)

⇨ 積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値・分散の導出
⇨ カイ二乗分布の期待値と分散の導出

ガンマ分布

確率密度関数\(f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}\)
期待値\(E(X)=k\theta\)
分散\(V(X)=k{\theta}^{2}\)
積率母関数\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{eqnarray*}\)

⇨ ガンマ分布の期待値と分散を密度関数から導出する
積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

ベータ分布

確率密度関数\(f(x)=\frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}\)
期待値\(E(X)=\frac{\alpha}{{\alpha}+{\beta}}\)
分散\(V(X)=\frac{{\alpha}{\beta}}{{({\alpha}+{\beta})}^2({\alpha}+{\beta}+1)}\)

⇨ ベータ分布の期待値・分散の導出

ポアソン分布

確率密度関数\(P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}\)
期待値\(E(X)=λ\)
分散\(V(X)=λ\)
積率母関数\(M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}\)

⇨ ポアソン分布の期待値・分散の導出(証明)
⇨ 積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出

 

ベルヌーイ分布

確率密度関数\(f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}\)
期待値\(E(X)=p\)
分散\(V(X)=p(1-p)\)

ベルヌーイ分布の期待値・分散の証明

二項分布

確率密度関数$$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$$
期待値$$E(X)=np$$
分散$$V(X)=np(1-p)$$
積率母関数$$M_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n$$

⇨ 二項分布の期待値・分散の導出(証明)
積率母関数を用いた二項分布の平均・分散の導出

 

離散一様分布

確率密度関数\(f(x) = \frac{1}{N}\)
期待値\(E(X)=\frac{N+1}{2}\)
分散\(V(X)=\frac{N^2-1}{12}\)
積率母関数\(M_X(t)=\frac{\mathrm{e}^t}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^t}\)

離散一様分布の期待値と分散の導出
積率母関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出