条件付き確率とは

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条件付き確率とは

条件付き確率とは、「ある事象が起こったという条件(前提)の下で別の事象が起こる確率」を指します。

「事象Aが起こった上で、事象Bが起きる確率」をAにおけるBの条件付き確率と言います。

条件付き確率の定義

事象A(条件となる事象)が起こった上で、事象Bが起きる確率はP(BA)P(B|A)と表し、その確率は次のようになります。

P(BA)=P(AB)P(A)P(B|A) = \frac{P(A \land B)}{P(A)}

事象A,Bが独立なときの条件付き確率

事象A,Bが独立なとき、条件付き確率は条件に左右されることなく、もとの確率を取ります。

つまり、事象A,Bが独立なときの条件付き確率は次のようになります。

P(AB)=P(A)P(A|B) = P(A)

P(BA)=P(B)P(B|A) = P(B)

このことは、条件付き確率の定義の式からも明らかです。

2つの事象が独立なときは、P(AB)=P(A)P(B)P(A \land B) = P(A)P(B)が成り立つので、

P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)

となることからも確認できます。

事象A,Bが排反であるときの条件付き確率

事象A,Bが排反であるとき、事象Aと事象Bは同時に起こりません。

よってP(AB)=0P(A \land B) = 0なので、条件付き確率は次のようになります。

P(AB)=P(AB)P(B)=0P(B)=0P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{0}{P(B)} = 0

カテゴリ: 統計学の基礎

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