確率密度関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

更新日

ガンマ分布の公式の確認

まずは、ガンマ分布の公式を確認しましょう。

確率密度関数

f(x)=xk1exθΓ(k)θkf(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}

期待値

E(X)=kθE(X)=k\theta

分散

V(X)=kθ2V(X)=k{\theta}^{2}

ガンマ関数の性質の確認

期待値・分散の導出にあたってガンマ関数の性質を利用するので、ここで確認しておきましょう。

ガンマ関数の性質

Γ(k)=0tk1etdt\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt

Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)

Γ(k+1)=k!\Gamma(k+1) = k!

Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

期待値の導出

E(X)=0xf(x)dx=0xxk1exθΓ(k)θkdx=0x(k+1)1exθΓ(k)θkdx=0x(k+1)1exθk1Γ(k+1)θ1θk+1dx\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\end{split}\end{equation*}

ここで、Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)というガンマ関数の性質を使うと、

Γ(k)=Γ(k+1)k\Gamma(k)=\frac{\Gamma(k+1)}{k}

 =0kθx(k+1)1exθΓ(k+1)θk+1dx=kθ\ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k \theta x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1)\theta^{k+1}}dx\\ &=k \theta\end{split}\end{equation*}

補足

x(k+1)1exθΓ(k+1)θk+1\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1) \theta^{k+1}}\end{split}\end{equation*}

この式のk+1k+1の部分をkk'と置くと、

x(k)1exθΓ(k)θk\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{split}\end{equation*}

となる。

これはパラメータ(母数)がkk'のガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

0x(k)1exθΓ(k)θkdx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{split}\end{equation*}

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるためである。

分散の導出

E(X2)=0x2f(x)dx=0x2xk1exθΓ(k)θkdx=0x(k+2)1exθΓ(k)θkdx=0x(k+2)1exθk1Γ(k+1)θ1θk+1dx=0x(k+2)1exθk1(k+1)1Γ(k+2)θ2θk+2dx\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}{(k+1)}^{-1}\Gamma(k+2)\theta^{-2} \theta^{k+2}}dx\end{split}\end{equation*}

ここで、Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)というガンマ関数の性質を使うと、

Γ(k)=Γ(k+1)k=Γ(k+2)k(k+1)\begin{equation*}\begin{split}\Gamma(k)&=\frac{\Gamma(k+1)}{k}\\ &=\frac{\Gamma(k+2)}{k(k+1)}\end{split}\end{equation*}

  =0k(k+1)θ2x(k+2)1exθΓ(k+2)θk+2dx=k(k+1)θ2V(X)=E(X2)(E(X))2=k(k+1)θ2(kθ)2=kθ2\ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k(k+1) \theta^{2}x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}dx\\ &=k(k+1) \theta^{2}\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=k{\theta}^2\end{split}\end{equation*}

補足

x(k+2)1exθΓ(k+2)θk+2\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}\end{split}\end{equation*}

この式のk+2k+2の部分をkk'と置くと、

x(k)1exθΓ(k)θk\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{split}\end{equation*}

となる。これはパラメータ(母数)がkk'のガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

0x(k)1exθΓ(k)θkdx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{split}\end{equation*}

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるためである。

関連記事

積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

カテゴリ: ガンマ分布

関連サービス

講座一覧ページ

記事一覧はこちら

無料で統計学を学ぶ