確率質量関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出

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公式の確認

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確率質量関数

f(x)=1Nf(x) = \frac{1}{N}

期待値

E(X)=N+12E(X)=\frac{N+1}{2}

分散

V(X)=N2112V(X)=\frac{N^2-1}{12}

期待値の導出

E(X)=k=1NkP(X=k)=k=1Nk1N=1Nk=1Nk=1NN(N+1)2=N+12\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=1}^{N}kP(X=k)\\ &=\sum_{k=1}^{N}k\frac{1}{N}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k\\ &=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}\\ &=\frac{N+1}{2}\end{split}\end{equation*}

分散の導出

E(X)=k=1Nk2P(X=k)=k=1Nk21N=1Nk=1Nk2=1NN(N+1)(2N+1)6=(N+1)(2N+1)6V(X)=E(X2)(E(X))2=(N+1)(2N+1)6(N+12)2=N2112\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=1}^{N}k^2P(X=k)\\ &=\sum_{k=1}^{N}k^2\frac{1}{N}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k^2\\ &=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\ &=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}-{(\frac{N+1}{2})}^2\\ &=\frac{N^2-1}{12} \end{split}\end{equation*}

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カテゴリ: 離散一様分布

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