二項分布のわかりやすいまとめ

更新日

二項分布とは(Binomial Distribution)

二項分布(Binomial Distribution)とは、互いに独立したベルヌーイ試行をn回行ったときに、ある事象が何回起こるかの確率分布です。

例えば、「コインを5回投げた時に表2回出る確率」、「対戦ゲームで90%の確率で当たる技を10回中8回当てる確率」などを表した確率分布です。

また、ベルヌーイ試行がの回数が1回のとき(すなわちn = 1のとき)、二項分布はベルヌーイ分布となります。

二項分布の公式まとめ

二項分布の基本的な公式は以下となります。

積率母関数

MX(t)=(etp+1p)nM_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n

確率質量関数

P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}

分布関数

F(x)=k=0x(nk)pkqnkF\left( x\right) =\sum^{x}_{k=0}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}q^{n-k}

特性関数

(peit+q)n(pe^{it}+q)^n

キュムラント母関数

nlog(pet+q)nlog(pe^t+q)

期待値

E(X)=npE(X)=np

分散

V(X)=np(1p)V(X)=np(1-p)

最頻値

p(n+1)1xp(n+1)p(n+1)-1≦x≦p(n+1)

歪度

qpnpq\frac{q-p}{\sqrt{npq}}

積率母関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

確率質量関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

指数型分布族の性質を利用した期待値・分散の導出はこちら

確率質量関数を用いた最頻値の導出はこちら

歪度・尖度の導出はこちら

二項分布と正規分布の関係

二項分布B(n.p)B(n.p)nnが十分に大きいとき、平均npnp、分散np(1p)np(1-p)正規分布に近づきます。

また、Xnpnp(1p)\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}は近似的に標準正規分布に従います。これをド・モアブルー・ラプラスの定理といいます。

二項分布と多項分布の関係

多項分布とは、二項分布を一般化した確率分布です。

確率変数(ベクトル)X=(X1,X2,...,Xk)\begin{equation*}\begin{split} {\bf X} = (X_{1}, X_{2}, ..., X_{k}) \end{split}\end{equation*}が以下の結合関数を持つ時に従う確率分布を、パラメータn,P=(p1,p2,...,pk)\begin{equation*}\begin{split} n, {\bf P} = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}) \end{split}\end{equation*} 多項分布といいます。

多項分布の確率密度関数

f(x1,x2,...,xk)=n!x1!x2!...xk!p1x1 p2x2... pkxk (xi0,x1+...+xk=n)\begin{equation*}\begin{split} f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}) &= \displaystyle \frac{n!}{x_{1}! x_{2}! ... x_{k}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} ... p_{k}^{x_{k}}  (x_{i} \geq 0, x_{1} + ... + x_{k} = n) \end{split}\end{equation*}

ただし、nnは整数であり、pi>0(i=1,2,...,k),p1+p2+...+pk=1p_{i}\gt0 (i = 1, 2, ..., k), p_{1} + p_{2} + ... + p_{k} = 1

k=2k = 2の時の多項分布の確率関数は二項分布と一致します。

二項分布の共役事前分布

共役事前分布とは、ベイズ統計を扱う際に、複雑な計算を回避するために考えられた事前分布です。

共役事前分布を用いて事後分布を求めると、事後分布が事前分布と同じ分布になるという特性があります。

二項分布は指数型分布族に属するため、ベータ分布を共役事前分布に持ちます。

データを取ってくる母集団の確率分布が二項分布であるとき、事前分布にベータ分布を設定すれば、事後分布もベータ分布となります。

関連記事

積率母関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出

確率質量関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出

確率質量関数を用いた二項分布の最頻値の導出

二項分布の歪度と尖度の導出

ベルヌーイ分布の分かりやすいまとめ

多項分布とは?期待値・分散・共分散の導出も解説

カテゴリ: 二項分布

関連サービス

講座一覧ページ

記事一覧はこちら

無料で統計学を学ぶ