ベルヌーイ分布の分かりやすいまとめ
ベルヌーイ分布とは
ベルヌーイ分布とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように2種類のみの結果しか得られないような試行(ベルヌーイ試行)の結果を0と1で表した分布を指します。
1である確率がであるとき、0である確率はとなる、非常にシンプルな確率分布です。
ベルヌーイ分布の公式
ベルヌーイ分布にまつわる公式を確認しておきましょう。
ベルヌーイ分布の確率質量関数
ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下です。
が成功か失敗を表すパラメータ(1→成功、0→失敗を表す)で、は成功確率を表します。
この確率質量関数は(成功時(パラメータのとき)に成功確率のとなり、失敗時(パラメータのとき)に失敗確率となることを示しています。
ベルヌーイ分布の期待値と分散
導出については、「確率質量関数を用いたベルヌーイ分布の期待値(平均)と分散の導出」をご確認ください。
期待値
分散
ベルヌーイ分布と二項分布
ベルヌーイ試行を繰り返し行い、その成功回数の分布が二項分布となります。
二項分布の確率質量関数は以下です。
ここで、はベルヌーイ試行の回数、はベルヌーイ試行の成功確率を表し、に成功回数を代入するとその確率を計算することができます。
ベルヌーイ分布の事後分布
ベルヌーイ分布からデータを取得する場合、共役事前分布がベータ分布、その事後分布もベータ分となります。
よって、ベルヌーイ分布の事後分布の平均・分散について、以下のようなことが言えます。
成功確率の試行を回行い、回成功したとする(はに従う)。この試行を回行った。
パラメータの事前分布としてのベータ分布をとるとき、の事後分布は、
平均:
分散:
のベータ分布に従う。
ただし、は成功回数である。
具体的な導出は、「ベルヌーイ分布の事後分布の平均と分散」をご確認ください。
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カテゴリ: ベルヌーイ分布
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記事の筆者
株式会社AVILEN マーケター
東北大学法学部卒業。ITインフラ業界で、モバイル・クラウドソリューションの法人セールス、プロダクト企画、マーケティング、カスタマーサクセスなどを経験。 2021年8月にAVILENに参画。AVILENでは人材育成事業部に所属し、BtoC、BtoB領域のマーケティング業務全般を担当する。