ベイズ統計と仮説検定2~ベイズ統計の基本的な仮説検定~

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ベイズ統計の仮説検定を全6回で説明をします。このページは第2回です。

第1回:ベイズ統計と仮説検定【1】~頻度論との違い~
第2回:ベイズ統計と仮説検定【2】~ベイズ統計の基本的な仮説検定~
第3回:ベイズ統計と仮説検定【3】~頻度論の考え方に基づくベイズ統計の仮説検定~
第4回:ベイズ統計と仮説検定【4】~ベイズファクター~
第5回:ベイズ統計と仮説検定【5】~点帰無仮説におけるベイズ流の仮説検定~
第6回:ベイズ統計と仮説検定6~ベイズ流仮説検定の問題点~

このページでは、ベイズ統計における仮説検定の基本的な考え方を説明します。

ベイズ統計における仮説の棄却と受容

第1回の「ベイズ統計と仮説検定①~頻度論との違い~」では、ベイズ統計においてデータが得られた上で帰無仮説を満たす確率がP(H0X)P(H_0|X)であることを説明しました。

ここからは、どのように仮説検定を進めるかを説明します。

例えば、帰無仮説H0H_0、対立仮説H1H_1を以下のようにおきます。

H0:θθ0H_0:\theta\leq\theta_0
H1:θ>θ0H_1:\theta\gt\theta_0

また、データを得た後の事後分布が次にのようになったとします。

ベイズ統計の仮説検定_事後分布

データを得たもとでのH0H_0H1H_1を満たす確率はそれぞれ以下のようになります。

ベイズ統計の仮説検定_事後分布

赤い部分がP(H0X)P(H_0|X)、青い部分がP(H1X)P(H_1|X)です。青い部分の方が、赤い部分よりも確率が大きいです。

つまり、データを得たもとでの帰無仮説H0H_0を満たす確率よりも、対立仮説H1H_1を満たす確率の方が大きいと言えます。

よって、帰無仮説H0H_0を棄却し、対立仮説H1H_1を採択します。

従来の仮説検定では、「帰無仮説を棄却しない=帰無仮説が正しいと判断する」ということは言えませんでしたが、仮説が成り立つ確率を直接算出するベイズ統計の検定では、このことが成立します。

ベイス統計における仮説検定の例題

では、実際に例題を用いてベイズ統計における仮説検定を考えましょう。

例題

1枚のコインがあります。このコインを5回投げたところ、表が4回出ました。このコインの表の出る確率は12\frac{1}{2}以下と言えるでしょうか。

ただし、事前のデータで、表の出る確率はBeta(12,12)Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})に従っているとします。

表の出る確率をpとし、帰無仮説と対立仮説を以下のように設定します。

H0:p12H_0:p\leq\frac{1}{2}
H1:p>12H_1:p\gt\frac{1}{2}

事前分布はπ(p)\pi(p)Beta(12,12)Beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})に従っているので、事後分布π(px)\pi(p|x)は平均34\frac{3}{4}Beta(92,32)Beta(\frac{9}{2},\frac{3}{2})に従います。

補足

事前分布がBeta(α,β)Beta(\alpha,\beta)に従っているとき、事後分布は、

平均:fracα+xα+β+nfrac{\alpha+x}{\alpha+\beta+n}

分散:(α+x)(β+nx)(α+β+n)2(α+β+n+1)\frac{(\alpha+x)(\beta+n-x)}{(\alpha+\beta+n)^2(\alpha+\beta+n+1)}

のベータ分布Beta(α+x,β+(nx))Beta(\alpha+x,\beta+(n-x))に従う。ただし、xxは表の出た回数である。

詳細は「ベルヌーイ分布の事後分布の平均と分散」をご確認ください。

グラフにすると以下のようになります。

ベイズ統計の仮説検定_事後分布

よって、帰無仮説H0H_0を満たす確率よりも、対立仮説H1H_1を満たす確率の方が大きいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択します。

よって、表の出る確率は12\frac{1}{2}よりも上である、と判断します。(厳密には、積分して確率を求めましょう。)

まとめ

ベイズ統計における仮説検定では、仮説が成り立つ確率を直接計算して検定を行います。これが従来の仮説検定との大きな違いとなります。

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カテゴリ: ベイズ統計

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