代表的な確率分布一覧

積率母関数

${\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}$

確率密度関数

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}$

期待値

$E(X)=μ$

分散

$V(X)=σ^2$

積率母関数

$\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}$

確率密度関数

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b - a} & (a \leq x \leq b) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{array} \right.$

期待値

$E(X)=\frac{1}{2}(a+b)$

分散

$V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2$

積率母関数

$M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}$

確率密度関数

$f(X;λ) = λe^{-λx}$

期待値

$E(X)=\frac{1}{λ}$

分散

$V(X)=\frac{1}{λ^2}$

積率母関数

$M_{X}(t)={(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}$

確率密度関数

$f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}$

期待値

$E(X)=k\theta$

分散

$V(X)=k{\theta}^{2}$

確率密度関数

$f(x)=\frac{x^{{\alpha}-1} {(1-x)}^{{\beta}-1}}{B({\alpha},{\beta})}$

期待値

$E(X)=\frac{\alpha}{{\alpha}+{\beta}}$

分散

$V(X)=\frac{{\alpha}{\beta}}{{({\alpha}+{\beta})}^2({\alpha}+{\beta}+1)}$

確率密度関数

$f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n-1}) = \frac{\Gamma(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} )}{\Gamma(\alpha_{1})...\Gamma(\alpha_{n})} x_{1}^{\alpha_{1} - 1} x_{2}^{\alpha_{2} - 1} ... x_{n}^{\alpha_{n} - 1}$

ただし、$\sum_{i=1}^{n} x_{i} = 1$とし、$x_{1}, ..., x_{n} \geq 0$とする。

期待値

$E(X_{i}) = \frac{\alpha_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}}  (i = 1, ..., n-1)$

分散

$V(X_{i}) = \frac{\alpha_{i}(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} - \alpha_{i})}{(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i})^2 (\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} + 1)} (i = 1, ..., n-1)$

積率母関数

$M_{X}(t)={(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}$

確率密度関数（自由度k）

$f(x)=\frac{x^{{\frac{k}{2}}-1} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})}$

期待値

$E(x)=k$

分散

$V(x)=2k$

確率密度関数

$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}$

期待値

$E(X)=0$

分散

$V(X) = \left\{ \begin{array}{ll}\infty & (1\lt\gamma \leq2) \\ \frac{\gamma}{\gamma-2} & (\gamma\gt2)\end{array} \right.$

確率密度関数

$f(z) = \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}}$

期待値

$E(Z) = \frac{m}{m-2}$

分散

$V(Z) = \frac{2m^{2}(n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)}$

積率母関数

$M_X(t)=\frac{\mathrm{e}^t}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^t}$

確率質量関数

$f(x) = \frac{1}{N}$

期待値

$E(X)=\frac{N+1}{2}$

分散

$V(X)=\frac{N^2-1}{12}$

確率質量関数

$f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}$

期待値

$E(X)=p$

分散

$V(X)=p(1-p)$

積率母関数

$M_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n$

確率質量関数

$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$

期待値

$E(X)=np$

分散

$V(X)=np(1-p)$

確率密度関数

$f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}) = \displaystyle \frac{n!}{x_{1}! x_{2}! ... x_{k}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} ... p_{k}^{x_{k}}  (x_{i} \geq 0, x_{1} + ... + x_{k} = n)$

ただし、$n$は整数であり、$p_{i}\gt0 (i = 1, 2, ..., k), p_{1} + p_{2} + ... + p_{k} = 1$

期待値

$E(X_{i}) = np_{i} ~~ (i = 1, ..., k)$

分散

$V(X_{i}) = np_{i}(1 - p_{i}) ~~ (i = 1, ..., k)$

積率母関数

$M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}$

確率質量関数

$P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}$

期待値

$E(X)=λ$

分散

$V(X)=λ$

積率母関数

$\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}$

確率関数

$f(x)=p(1-p)^{x-1}$　ただし、$x=1,2,\dotsb$

期待値

$E[x]=\frac{1}{p}$

分散

$V[x]=\frac{1-p}{p^2}$

確率密度関数

$p(x) = \displaystyle \begin{cases} \frac{\left( \begin{array}{c} k \\ x \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N \\ n \end{array} \right)} & (x = 0, 1, 2, \cdots , n) \\ 0 & (else) \end{cases}$

期待値

$E(X) = \displaystyle n \frac{k}{N}$

分散

$V(X) = \displaystyle \frac{nk(N-k)(N-n)}{N^2 (N-1)}$