時系列分析で登場する重要な統計量や用語を解説

時系列データの表現

時系列データがどのように表現されるかについて確認しましょう。

ラグ

時点$t$におけるデータは$y_t$と表されます。

時点$t$を基準に一時点前、一時点後のデータについて考えたいときは、それぞれ$y_{t -1}$、$y_{t + 1}$という形で表します。

また、ある時点を基準にしたときの時間のズレ（遅れ）をラグといいます。

一時点のズレであれば、$y_t$に対して$y_{t-1}$という形で表されます。これを一次ラグと呼びます。$j$次ラグであれば、$y_t$に対し$y_{t-j}$といった形で表現されます。

確率過程

$y_1, y_2 , ... , y_t, ...$といった形で表される時系列データを確率過程と呼びます。確率過程は、時間によって変化する確率変数の集合と考えましょう。

時系列データの統計量

時系列データの統計量について確認しましょう。

期待値

時系列データの期待値は、通常のデータと同じように平均を意味します。より詳しく説明すると、時系列データの期待値は時点$t$において平均的にとる値を示します。

時点$t$における期待値は$\mu_t = E (y_t)$という数式で表されます。

分散、標準偏差

時系列データの分散は、通常の分散と同じようにバラツキを意味します。

時点$t$における分散は$V(y_t) = E [(y_t - \mu_t)^2]$という形で表します。

この分散$V(y_t)$に対しルートを取った$\sqrt{ V(y_t) }$は、標準偏差またはボラティリティと呼ばれます。

ボラティリティについて考える時系列モデルに、ARCH、GARCHモデルといったものがあります。

自己共分散

時系列分析でもデータの共分散を扱います。ただ時系列分析では共分散ではなく自己共分散と呼びます。

自己共分散は、現在と、ある時点前の過去のデータとの間の共分散を考えます。

以下の式を見ながら、自己共分散について理解していきましょう。

$\gamma_{1t} = Cov (y_t, y_{t-1}) = E [(y_t - \mu_t)(y_{t-1} - \mu_{t-1})]$

上記の式の$\gamma_{1t}$は時点$t$における一次の自己共分散を表します。一時点前のデータに対する共分散であるため、一次の自己共分散と呼ばれます。

上記の式の$Cov (y_t, y_{t-1})$という部分を見ると、確かに自己共分散が共分散の式の形であると確認できますね。

$j$次の自己共分散は以下のように表されます。

$\gamma_{jt} = Cov (y_t, y_{t-j}) = E [(y_t - \mu_t)(y_{t-j} - \mu_{t-j})]$

$j$次の自己共分散は$j$時点前のデータに対する共分散について考えるのでしたね。

定常性が仮定されるときは、$j$次の自己共分散を$\gamma_j$と表します。

 自己相関

自己相関は$j$時点前のデータに対してどれだけ相関があるかを意味します。以下の$j$次の自己相関を表す式を見てみましょう。

$p_{jt} = \frac{ Cov (y_t, y_{t-j}) }{ \sqrt{V(y_t)V(y_{t-j} } ) }$

通常の相関係数を表す式とよく似ていますね。

定常性が仮定されるとき、$j$次の自己相関は$p_j$と表されます。

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